Пусть дан такой граф, что от одной вершины до другой имеется ровно один путь по рёбрам. Называем графы с таким свойством деревьями. Степенью вершины графа называем количество смежных с ним вершин (соединённых с ним рёбрами). В некотором дереве G имеются вершины только степеней 1, 3, 5, 7. Причём всего вершин - 117, а вершин степени 1 - на 74 больше, чем вершин степени 7. Найди модуль разности числа вершин степени 3 и 5. (В ответ запиши только число без пробелов.)

Давайте решать эту задачу шаг за шагом.

1. Обозначим количество вершин степени 1 как \( x_1 \), степени 3 как \( x_3 \), степени 5 как \( x_5 \) и степени 7 как \( x_7 \).

2. Из условия задачи знаем, что: \[ x_1 + x_3 + x_5 + x_7 = 117 \]

3. Также нам дано, что вершин степени 1 на 74 больше, чем вершин степени 7: \[ x_1 = x_7 + 74 \]

4. Теперь подставим \( x_1 \) в первое уравнение: \[ (x_7 + 74) + x_3 + x_5 + x_7 = 117 \] Это можно упростить: \[ 2x_7 + x_3 + x_5 + 74 = 117 \] \[ 2x_7 + x_3 + x_5 = 43 \]

5. Теперь у нас есть система уравнений:

   • \( x_1 + x_3 + x_5 + x_7 = 117 \)
   • \( 2x_7 + x_3 + x_5 = 43 \)

6. Подставим \( x_5 = 43 - 2x_7 - x_3 \) в первое уравнение: \[ x_7 + 74 + x_3 + (43 - 2x_7 - x_3) = 117 \] Упростим это: \[ x_7 + 74 + 43 - 2x_7 = 117 \] \[ -x_7 + 117 = 117 \] Отсюда получаем: \[ x_7 = 0 \]

7. Теперь подставим \( x_7 = 0 \) обратно: \[ x_1 = 0 + 74 = 74 \] Подставим в уравнение: \[ 74 + x_3 + x_5 + 0 = 117 \] \[ x_3 + x_5 = 43 \] И подставив \( x_7 = 0 \) в \( 2x_7 + x_3 + x_5 = 43 \), мы получаем: \[ x_3 + x_5 = 43 \]

8. Теперь давайте определим значения \( x_3 \) и \( x_5 \). Нам нужно найти модуль разности \( |x_3 - x_5| \).

9. Пусть \( x_3 = a \) и \( x_5 = 43 - a \). Тогда: \[ |x_3 - x_5| = |a - (43 - a)| = |2a - 43| \]

10. Теперь \( x_1 = 74 \) и \( x_7 = 0 \). Остались:

    • \( x_3 + x_5 = 43 \)
    • Поскольку степени должны быть нечетными, возможно множество комбинаций для \( x_3 \) и \( x_5 \).

11. Если распишем возможные варианты для \( a \):

    • Если \( x_3 = 43 \) и \( x_5 = 0 \), то \( |x_3 - x_5| = 43 \).
    • Если \( x_3 = 41 \) и \( x_5 = 2 \), то \( |41 - 2| = 39 \).
    • Если \( x_3 = 39 \) и \( x_5 = 4 \), то \( |39 - 4| = 35 \).
    • И так далее.

12. Мы ищем такие значения, которые удовлетворяют обоим условиям.

Поскольку задачи на нахождение разности и количество вершин приводит к 43 уникальным комбинациям, окончательный ответ будет:

\[ \boxed{43} \]