Дано: y=2x²; y=2x; Найти: Sф
Чтобы найти площадь фигуры, заключенной между кривыми \( y = 2x^2 \) и \( y = 2x \), нужно сначала определить точки их пересечения.
Найдем точки пересечения: Мы приравняем уравнения друг другу:
\[ 2x^2 = 2x \]
Упростим это уравнение:
\[ 2x^2 - 2x = 0 \]
Вынесем общий множитель:
\[ 2x(x - 1) = 0 \]
Это уравнение имеет решения:
\[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 1 \]
Найдем площадь Sф: Площадь фигуры между кривыми можно вычислить по формуле:
\[ S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx \]
В нашем случае \( f(x) = 2x \) и \( g(x) = 2x^2 \), а границы интегрирования \( a = 0 \) и \( b = 1 \):
\[ S = \int_{0}^{1} (2x - 2x^2) \, dx \]
Посчитаем интеграл: Сначала найдем неопределенный интеграл:
\[ \int (2x - 2x^2) \, dx = x^2 - \frac{2}{3}x^3 + C \]
Теперь подставим границы интегрирования:
\[ S = \left[ x^2 - \frac{2}{3}x^3 \right]_{0}^{1} = \left( 1^2 - \frac{2}{3} \cdot 1^3 \right) - \left( 0^2 - \frac{2}{3} \cdot 0^3 \right) \]
Это упрощается до:
\[ S = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \]
Таким образом, площадь фигуры, заключенной между кривыми \( y = 2x^2 \) и \( y = 2x \), равна \( \frac{1}{3} \) квадратных единиц.
