Пусть дан такой граф, что от одной вершины до другой имеется ровно один путь по рёбрам. Называем графы с таким свойством деревьями. Степенью вершины графа называем количество смежных с ним вершин (соединённых с ним рёбрами). В некотором дереве G имеются вершины только степеней 1, 3, 5, 7. Причём всего вершин - 117, а вершин степени 1 - на 74 больше, чем вершин степени 7. Найди модуль разности числа вершин степени 3 и 5. (В ответ запиши только число без пробелов.)

Давайте решим эту задачу по шагам.

Обозначим:

• количество вершин степени 1 как \( x_1 \),
• количество вершин степени 3 как \( x_3 \),
• количество вершин степени 5 как \( x_5 \),
• количество вершин степени 7 как \( x_7 \).

Согласно условию, у нас есть следующие соотношения:

1. Общее количество вершин: \[ x_1 + x_3 + x_5 + x_7 = 117. \]

2. Вершин степени 1 на 74 больше, чем вершин степени 7: \[ x_1 = x_7 + 74. \]

Теперь мы можем выразить \( x_1 \) через \( x_7 \) и подставить в первое уравнение. Подставим:

\[ (x_7 + 74) + x_3 + x_5 + x_7 = 117. \]

Упростим это: \[ 2x_7 + x_3 + x_5 + 74 = 117. \] \[ 2x_7 + x_3 + x_5 = 43. \quad (1) \]

Теперь мы можем записать весовые уравнения для степеней вершин. Поскольку граф является деревом, сумма степеней всех вершин равна двойному количеству рёбер. Для дерева с \( n \) вершинами количество рёбер равно \( n - 1 \). В нашем случае это 116 (так как 117 - 1 = 116).

Сумма степеней вершин: \[ 1 \cdot x_1 + 3 \cdot x_3 + 5 \cdot x_5 + 7 \cdot x_7 = 2 \cdot 116. \] Это даёт: \[ 1 \cdot (x_7 + 74) + 3x_3 + 5x_5 + 7x_7 = 232. \] Упростим: \[ x_7 + 74 + 3x_3 + 5x_5 + 7x_7 = 232. \] Соберём подобные: \[ 8x_7 + 3x_3 + 5x_5 + 74 = 232. \] \[ 8x_7 + 3x_3 + 5x_5 = 158. \quad (2) \]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( 2x_7 + x_3 + x_5 = 43. \)
2. \( 8x_7 + 3x_3 + 5x_5 = 158. \)

Решим систему. Из первого уравнения выразим \( x_3 + x_5 \): \[ x_3 + x_5 = 43 - 2x_7. \]

Подставим это выражение во второе уравнение: \[ 8x_7 + 3(43 - 2x_7) + 5x_5 = 158 \]

Теперь не остаётся ничего, кроме \( x_5 \): \[ 8x_7 + 129 - 6x_7 + 5x_5 = 158. \] Упростям: \[ 2x_7 + 5x_5 = 29. \quad (3) \]

Теперь у нас есть:

1. \( 2x_7 + x_3 + x_5 = 43. \)
2. \( 2x_7 + 5x_5 = 29. \)

Решим систему уравнений. Из (3): \[ x_5 = (29 - 2x_7) / 5. \]

Теперь подставим значение \( x_5 \) в (1): \[ 2x_7 + x_3 + (29 - 2x_7)/5 = 43. \] Умножим уравнение на 5, чтобы избавиться от дробей: \[ 10x_7 + 5x_3 + 29 - 2x_7 = 215. \] Соберём: \[ 8x_7 + 5x_3 = 186. \]

Теперь мы можем выразить \( x_3 \): \[ 5x_3 = 186 - 8x_7. \] \[ x_3 = (186 - 8x_7) / 5. \]

Теперь можно найти значения \( x_3 \) и \( x_5 \). Найдем значения, чтобы \( x_7 \) было неотрицательным. Подставляя разные целые числа \( x_7 \), мы можем найти совместимые значения.

Попробуем подставить \( x_7 = 7 \):

1. Посчитаем \( x_1 = 74 + x_7 = 81 \),
2. Подставим в уравнение: \[ 81 + x_3 + x_5 + 7 = 117. \] \[ x_3 + x_5 = 29. \]

Теперь подставим в \( 8 \cdot 7 + 3x_3 + 5x_5 = 158 \): \[ 56 + 3x_3 + 5x_5 = 158. \] \[ 3x_3 + 5(29 - x_3) = 102, \] \[ 3x_3 + 145 - 5x_3 = 102 \] \[ -2x_3 = -43 \Rightarrow x_3 = 21.5 \] - не подходит.

Проверяем \( x_7 = 8 \): \[ x_1 = 74 + 8 = 82, x_3 + x_5 = 29. \]

Далее можем решить с \( x_3 = 22 \) и \( x_5 = 7 \).

Теперь возвращаемся к исходной задаче: Нам нужно выяснить модуль разности числа вершин степени 3 и 5: \[ |x_3 - x_5| = |22 - 7| = 15. \]

Ответ: 15.