Найти область значения и определения

Привет! Давай разберёмся с этой задачей. Нам нужно найти область определения и область значений функции \( y = \frac{x^2 + 4}{x^2 + 5} \).

Область определения:

Для дроби нужно, чтобы знаменатель не равнялся нулю.

В нашем случае выражение в знаменателе: \( x^2 + 5 \).

Поскольку сумма квадрата числа и положительного числа никогда не будет равна нулю, знаменатель всегда положителен. Значит, область определения — все действительные числа.

Область значений:

Найдём, какие значения может принимать функция.

1. Так как числитель и знаменатель являются многочленами второго порядка, при больших значениях \( x \) функция приближается к \( 1 \).

2. Посмотрим, есть ли какие-то значения, которые функция не может принимать. Так как \( y = 1 - \frac{1}{x^2 + 5} \), выражение \(-\frac{1}{x^2 + 5}\) будет строго меньше 1 и больше или равно 0. Соответственно, \( y \) будет от 4/5 до 1.

Таким образом, область значений функции будет \( ( \frac{4}{5}, 1) \).

Если что-то непонятно, обязательно спрашивай! 🙂