Федя возвел ненулевое число в четвертую степень , и оно увеличилось втрое. Во сколько раз увеличится число, если его возвести в десятую степень?

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Пусть ненулевое число обозначим как \( x \). Из условия мы знаем, что когда \( x \) возводится в четвертую степень, оно увеличивается втрое, то есть:

\[ x^4 = 3x \]

Теперь, чтобы упростить уравнение, перенесем все в одну сторону:

\[ x^4 - 3x = 0 \]

Факторизуем это уравнение:

\[ x(x^3 - 3) = 0 \]

Поскольку мы рассматриваем ненулевое число \( x \), то \( x \neq 0 \). Оставшееся выражение равняется нулю:

\[ x^3 - 3 = 0 \]

Отсюда получаем:

\[ x^3 = 3 \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt[3]{3} \]

Теперь, чтобы узнать, во сколько раз увеличится число, если возвести его в десятую степень, мы можем записать это следующим образом:

\[ x^{10} = (\sqrt[3]{3})^{10} \]

Используем свойства степеней:

\[ x^{10} = 3^{10/3} \]

Теперь нам нужно найти отношение \( \frac{x^{10}}{x^4} \), чтобы определить, во сколько раз увеличилось число:

\[ \frac{x^{10}}{x^4} = \frac{3^{10/3}}{3} = 3^{10/3 - 1} = 3^{10/3 - 3/3} = 3^{7/3} \]

Таким образом, число увеличится в \( 3^{7/3} \) раз, что можно также выразить через корень:

\[ 3^{7/3} = 3^2 \cdot 3^{1/3} = 9 \cdot \sqrt[3]{3} \]

Поэтому итоговый ответ: число увеличится в \( 3^{7/3} \) раз.