(х-2у)(х+3у)=0 х²-у²=12

Давайте решим систему уравнений, состоящую из двух частей:

1. \( (x - 2y)(x + 3y) = 0 \)
2. \( x^2 - y^2 = 12 \)

Сначала решим первое уравнение \( (x - 2y)(x + 3y) = 0 \). Это уравнение выполняется, если одно из множителей равно нулю:

1. \( x - 2y = 0 \) Отсюда: \( x = 2y \)

2. \( x + 3y = 0 \) Отсюда: \( x = -3y \)

Теперь у нас есть два случая для \( x \), и мы можем подставить их во второе уравнение \( x^2 - y^2 = 12 \).

Случай 1: \( x = 2y \)

Подставим \( x \) в уравнение:

\[ (2y)^2 - y^2 = 12 \] \[ 4y^2 - y^2 = 12 \] \[ 3y^2 = 12 \] \[ y^2 = 4 \implies y = 2 \text{ или } y = -2 \]

Теперь найдем соответствующие значения \( x \):

• Если \( y = 2 \), то \( x = 2(2) = 4 \).
• Если \( y = -2 \), то \( x = 2(-2) = -4 \).

Таким образом, из первого случая мы получили две пары: \( (4, 2) \) и \( (-4, -2) \).

Случай 2: \( x = -3y \)

Подставим \( x \) в уравнение:

\[ (-3y)^2 - y^2 = 12 \] \[ 9y^2 - y^2 = 12 \] \[ 8y^2 = 12 \] \[ y^2 = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \implies y = \sqrt{\frac{3}{2}} \text{ или } y = -\sqrt{\frac{3}{2}} \]

Теперь найдем соответствующие значения \( x \):

• Если \( y = \sqrt{\frac{3}{2}} \), то \( x = -3\sqrt{\frac{3}{2}} \).
• Если \( y = -\sqrt{\frac{3}{2}} \), то \( x = 3\sqrt{\frac{3}{2}} \).

Таким образом, из второго случая мы получили две пары: \( \left(-3\sqrt{\frac{3}{2}}, \sqrt{\frac{3}{2}}\right) \) и \( \left(3\sqrt{\frac{3}{2}}, -\sqrt{\frac{3}{2}}\right) \).

Итог

Все решения системы уравнений:

1. \( (4, 2) \)
2. \( (-4, -2) \)
3. \( \left(-3\sqrt{\frac{3}{2}}, \sqrt{\frac{3}{2}}\right) \)
4. \( \left(3\sqrt{\frac{3}{2}}, -\sqrt{\frac{3}{2}}\right) \)

Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется более глубокое объяснение, не стесняйтесь спрашивать!