Найти дисперсию S² тремя способами: a) с помощью составления таблицы. б) с помощью общей формулы дисперсии. в) с помощью формулы S²-x²-x². 1)10+N; 30-N; 20+N;20-N 2) 33*N; 14+N; 44-N; 18+N; 33
Рассмотрим задачу нахождения дисперсии \( S^2 \) для двух наборов данных. Выполним вычисления трёмя разными способами.
1. Способ (а): С помощью составления таблицы
Для начала запишем данные и составим таблицу.
- Набор: \( 10+N, 30-N, 20+N, 20-N \)
Предположим, что \( N \) — это какое-либо константное значение.
Сначала вычислим среднее значение (математическое ожидание) этого набора:
\[ \bar{x} = \frac{(10+N) + (30-N) + (20+N) + (20-N)}{4} = \frac{80}{4} = 20 \]
Теперь заполним таблицу для расчета дисперсии:
| x | x - \(\bar{x}\) | (x - \(\bar{x}\))² |
|---|---|---|
| \(10+N\) | \( (10+N) - 20 = N - 10 \) | \( (N - 10)^2 \) |
| \(30-N\) | \( (30-N) - 20 = 10 - N \) | \( (10 - N)^2 \) |
| \(20+N\) | \( (20+N) - 20 = N \) | \( N^2 \) |
| \(20-N\) | \( (20-N) - 20 = -N \) | \( (-N)^2 \) |
Теперь выразим дисперсию:
\[ S^2 = \frac{(N - 10)^2 + (10 - N)^2 + N^2 + N^2}{4} \]
Упростим:
\[ S^2 = \frac{(N - 10)^2 + (N - 10)^2 + 2N^2}{4} = \frac{2(N - 10)^2 + 2N^2}{4} = \frac{(N - 10)^2 + N^2}{2} \]
2. Способ (б): С помощью общей формулы дисперсии
Общая формула дисперсии выглядит так:
\[ S^2 = E[X^2] - (E[X])^2 \]
Сначала находим \( E[X] \):
\[ E[X] = \frac{(10+N) + (30-N) + (20+N) + (20-N)}{4} = 20 \]
Теперь вычислим \( E[X^2] \):
\[ E[X^2] = \frac{(10+N)^2 + (30-N)^2 + (20+N)^2 + (20-N)^2}{4} \]
Вычислим каждое значение:
\[ (10+N)^2 = 100 + 20N + N^2 \] \[ (30-N)^2 = 900 - 60N + N^2 \] \[ (20+N)^2 = 400 + 40N + N^2 \] \[ (20-N)^2 = 400 - 40N + N^2 \]
Теперь суммируем:
\[ E[X^2] = \frac{(100 + 20N + N^2) + (900 - 60N + N^2) + (400 + 40N + N^2) + (400 - 40N + N^2)}{4} \] \[ = \frac{1900 + 0N + 4N^2}{4} = 475 + N^2 \]
Теперь подставим в формулу дисперсии:
\[ S^2 = (475 + N^2) - (20)^2 = 475 + N^2 - 400 = 75 + N^2 \]
3. Способ (в): С помощью формулы \( S^2 = \bar{x}^2 - x^2 - x^2 \)
Найдем дисперсию, используя формулу, как указано. Попробуем выставить так:
\[ S^2 = E[X^2] - (E[X])^2 \]
Используя уже ранее найденные значения:
\[ S^2 = (475 + N^2) - 400 = 75 + N^2 \]
Таким образом, для обоих подходов мы пришли к результату:
\[ S^2 = 75 + N^2 \]
Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме или другим материалам, пожалуйста, дайте знать!
