Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с острым углом 60° и катетом, прилежащим к этому углу, равным 9 см. Высота призмы 10 см. Найдите объем призмы.
Чтобы найти объем прямой треугольной призмы, нужно воспользоваться формулой:
\[ V = S_b \cdot h \]
где \( V \) — объем призмы, \( S_b \) — площадь основания призмы, а \( h \) — высота призмы.
- Находим площадь основания. Основание нашей призмы — это прямоугольный треугольник. Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:
\[ S_b = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \]
где \( a \) и \( b \) — длины катетов.
У нас есть один катет (прилежащий к углу 60°), равный 9 см. Нам нужно найти второй катет, который противолежит углу 60°. Мы можем использовать свойства прямоугольного треугольника:
Если угол острый (60°), то:
\[ b = a \cdot \tan(60^\circ) \]
Зная, что \( \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \), получаем:
\[ b = 9 \cdot \sqrt{3} \approx 9 \cdot 1.732 \approx 15.588 \text{ см} \]
Теперь можем найти площадь основания:
\[ S_b = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 15.588 \approx \frac{1}{2} \cdot 140.292 \approx 70.146 \text{ см}^2 \]
- Находим объем призмы. Теперь, когда у нас есть площадь основания, можем рассчитать объем, зная высоту призмы \( h = 10 \text{ см} \):
\[ V = S_b \cdot h = 70.146 \cdot 10 \approx 701.46 \text{ см}^3 \]
Таким образом, объем призмы составляет примерно 701.46 см³.
