Расстояние между двумя пунктами катер прошёл по течению реки за 7 часов, а против течения за 8 часов. Найдите расстояние между этими пунктами, если скорость течения реки 2,5 километра в час.
Чтобы найти расстояние между двумя пунктами, давайте рассмотрим скорости катера и течения реки.
Обозначим:
- \( V_k \) — скорость катера в стоячей воде;
- \( V_t = 2.5 \) км/ч — скорость течения реки;
- \( D \) — расстояние между пунктами.
Когда катер движется по течению, его скорость будет: \[ V_k + V_t \] Когда катер движется против течения, его скорость будет: \[ V_k - V_t \]
По условию задачи, катер проходит расстояние \( D \) по течению за 7 часов и против течения за 8 часов. Это можно выразить следующим образом:
По течению: \[ D = (V_k + V_t) \times 7 \]
Против течения: \[ D = (V_k - V_t) \times 8 \]
Теперь, подставим скорость течения \( V_t = 2.5 \) км/ч в оба уравнения:
По течению: \[ D = (V_k + 2.5) \times 7 \]
Против течения: \[ D = (V_k - 2.5) \times 8 \]
Так как \( D \) в обоих случаях одинаково, мы можем приравнять эти два уравнения: \[ (V_k + 2.5) \times 7 = (V_k - 2.5) \times 8 \]
Теперь раскрываем скобки: \[ 7V_k + 17.5 = 8V_k - 20 \]
Соберем все элементы, связанные со скоростью, с одной стороны: \[ 17.5 + 20 = 8V_k - 7V_k \] \[ 37.5 = V_k \]
Теперь, зная скорость катера \( V_k \), можем найти расстояние \( D \). Используем одно из уравнений, например, первое: \[ D = (37.5 + 2.5) \times 7 \]
Считаем: \[ D = 40 \times 7 = 280 \text{ км} \]
Таким образом, расстояние между двумя пунктами составляет 280 километров.
