Найти производную второго порядка f(x)=3x-5(1-x)(1-2x)
Чтобы найти производную второго порядка функции \( f(x) = 3x - 5(1-x)(1-2x) \), начнем с нахождения первой производной.
Упростим функцию \( f(x) \):
Сначала раскроем скобки в выражении \( -5(1-x)(1-2x) \):
\[ (1-x)(1-2x) = 1 - 2x - x + 2x^2 = 1 - 3x + 2x^2 \]
Подставим это обратно в \( f(x) \):
\[ f(x) = 3x - 5(1 - 3x + 2x^2) \]
Раскроем скобки:
\[ f(x) = 3x - 5 + 15x - 10x^2 = 18x - 10x^2 - 5 \]
Объединим подобные члены:
\[ f(x) = -10x^2 + 18x - 5 \]
Найдём первую производную \( f'(x) \):
Используем правило дифференцирования для многочленов:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(-10x^2) + \frac{d}{dx}(18x) - \frac{d}{dx}(5) \]
\[ f'(x) = -20x + 18 \]
Найдём вторую производную \( f''(x) \):
Теперь найдём производную от \( f'(x) \):
\[ f''(x) = \frac{d}{dx}(-20x + 18) = -20 \]
Таким образом, вторая производная функции \( f(x) \) равна:
\[ f''(x) = -20 \]
Если у вас есть дополнительные вопросы или необходимо прояснить какой-либо этап, не стесняйтесь задавать!
