Х+√х=2(х-1)

Чтобы решить уравнение \(x + \sqrt{x} = 2(x - 1)\), давайте сначала упростим его.

1. Раскроем скобки с правой стороны: \[ x + \sqrt{x} = 2x - 2 \]

2. Переместим все члены влево, чтобы уравнение приняло вид: \[ x + \sqrt{x} - 2x + 2 = 0 \] Это можно переписать как: \[ -x + \sqrt{x} + 2 = 0 \] Или: \[ \sqrt{x} = x - 2 \]

3. Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня (при этом нужно помнить, что мы можем получить лишние корни, так что потом проверим): \[ x = (x - 2)^2 \] Раскроем скобки справа: \[ x = x^2 - 4x + 4 \]

4. Приведем все члены к одной стороне: \[ 0 = x^2 - 5x + 4 \]

5. Теперь решим квадратное уравнение \(x^2 - 5x + 4 = 0\) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \]

6. Найдем корни уравнения. Корни вычисляются по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 3}{2} \] Это дает нам: \[ x_1 = \frac{8}{2} = 4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2}{2} = 1 \]

7. Теперь проверим найденные корни в исходном уравнении.

Для \(x = 4\): \[ 4 + \sqrt{4} = 4 + 2 = 6 \] \[ 2(4 - 1) = 2 \cdot 3 = 6 \] Корень \(x = 4\) удовлетворяет уравнению.

Для \(x = 1\): \[ 1 + \sqrt{1} = 1 + 1 = 2 \] \[ 2(1 - 1) = 2 \cdot 0 = 0 \] Корень \(x = 1\) не удовлетворяет уравнению.

Таким образом, единственным решением уравнения является: \[ \boxed{4} \]