Дана прямоугольная трапеция, меньшее основание которой равно 10 см. Меньшая боковая сторона равна 12 см, а большая боковая сторона образует с основанием угол 45°. Найди площадь трапеции.

Чтобы найти площадь прямоугольной трапеции, мы можем воспользоваться формулой:

\[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \]

где:

• \( S \) — площадь трапеции,
• \( a \) — длина меньшего основания,
• \( b \) — длина большего основания,
• \( h \) — высота трапеции.

В данной задаче нам известно:

• Меньшее основание \( a = 10 \) см.
• Меньшая боковая сторона равна 12 см.
• Большая боковая сторона образует с основанием угол 45°.

1. Найдем высоту \( h \): Так как большая боковая сторона образует угол 45° с основанием, существует прямая, поднимающаяся вдоль большей боковой стороны, которая имеет угол 45°. В этом случае, высота \( h \) равна длине проекции большой боковой стороны на вертикаль, а также равна расстояниям, от которых уменьшается основание.

   Высота \( h \) можно найти следующим образом, используя тригонометрию: \[ h = 12 \cdot \sin(45^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \text{ см}. \]

2. Найдем длину большего основания \( b \): Так как большое основание и меньшая боковая сторона находятся в прямоугольном треугольнике, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора: \[ b = a + (12 \cdot \cos(45^\circ)) = 10 + 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] Таким образом, \(\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и
   \[ b = 10 + 6\sqrt{2} \text{ см}. \]

3. Подставим найденные значения в формулу для площади: \[ S = \frac{(10 + (10 + 6\sqrt{2})) \cdot 6\sqrt{2}}{2} = \frac{(20 + 6\sqrt{2}) \cdot 6\sqrt{2}}{2} \] \[ S = 3(20 + 6\sqrt{2})\sqrt{2} = 60\sqrt{2} + 36. \]

Таким образом, площадь прямоугольной трапеции равна \( 60\sqrt{2} + 36 \) квадратных сантиметров.