Выполни задание Проведи доказательство сочетательных логических законов с помощью таблиц истинности: a) для логического умножения - А • (В • C) = (A • B) • C A B C (B• C) A •(B• (A• B) (A• B) C) • C 0 0 1 v 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 v 1 1
Давайте рассмотрим доказательство ассоциативного закона логического умножения (конъюнкции) с помощью таблиц истинности. Ассоциативный закон для конъюнкции можно сформулировать так:
\[ A \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B) \cdot C \]
Чтобы доказать это, мы построим таблицу истинности для обеих сторон уравнения и сравним их результаты.
- Сначала создаём таблицу истинности для \( A \cdot (B \cdot C) \):
| A | B | C | B • C | A • (B • C) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Теперь мы видим, что \( A \cdot (B \cdot C) \) имеет значение 1 только в случае, когда \( A = 1, B = 1, C = 1 \).
- Теперь создадим таблицу истинности для \( (A \cdot B) \cdot C \):
| A | B | C | A • B | (A • B) • C |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Теперь мы видим, что \( (A \cdot B) \cdot C \) также имеет значение 1 только в случае, когда \( A = 1, B = 1, C = 1 \).
- Сравниваем результаты:
- Для \( A \cdot (B \cdot C) \) и \( (A \cdot B) \cdot C \):
- Если \( A = 0 \) или \( B = 0 \) или \( C = 0 \), то обе стороны равны 0.
- Если \( A = 1, B = 1, C = 1 \), то обе стороны равны 1.
Таким образом, мы приходим к выводу, что:
\[ A \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B) \cdot C \]
Это и является доказательством ассоциативного закона для логического умножения. Если у вас есть другие вопросы или хотите обсудить другие логические законы, не стесняйтесь спрашивать!
