Реши способом подстановки систему уравнений: { x 2 − y 2 = 80 x y = 96 { x 2 −y 2 =80 xy=96 Запиши числа в полях ответа. Если решений несколько, тогда запиши ту пару значений, где x x наибольший. ( ( ; ; ) )
Для решения системы уравнений:
\[ \begin{cases} x^2 - y^2 = 80 \\ xy = 96 \end{cases} \]
начнем с первого уравнения. Мы знаем, что разность квадратов можно разложить:
\[ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) = 80 \]
Теперь решим второе уравнение для \(y\):
\[ y = \frac{96}{x} \]
Теперь подставим выражение для \(y\) во первое уравнение:
\[ x^2 - \left(\frac{96}{x}\right)^2 = 80 \]
Упрощаем:
\[ x^2 - \frac{9216}{x^2} = 80 \]
Умножаем все на \(x^2\) (при \(x \neq 0\)):
\[ x^4 - 9216 = 80x^2 \]
Перепишем уравнение:
\[ x^4 - 80x^2 - 9216 = 0 \]
Теперь подставим \(u = x^2\), чтобы решить квадратное уравнение:
\[ u^2 - 80u - 9216 = 0 \]
Используем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-80)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9216) = 6400 + 36864 = 43264 \]
Теперь находим корни:
\[ u = \frac{80 \pm \sqrt{43264}}{2} \]
Вычислим \(\sqrt{43264}\):
\[ \sqrt{43264} = 208 \]
Таким образом:
\[ u = \frac{80 \pm 208}{2} \]
Находим два решения:
- \(u_1 = \frac{288}{2} = 144\)
- \(u_2 = \frac{-128}{2} = -64\) (это значение игнорируем, так как \(u = x^2 \geq 0\))
Теперь, вернёмся к \(x^2 = 144\):
\[ x = 12 \quad \text{или} \quad x = -12 \]
Теперь найдем \(y\) для этих значений \(x\). Используя \(xy = 96\):
- Если \(x = 12\):
\[ y = \frac{96}{12} = 8 \]
- Если \(x = -12\):
\[ y = \frac{96}{-12} = -8 \]
Получили пары \((12, 8)\) и \((-12, -8)\). Так как нам нужно наибольшее значение \(x\):
Ответ:
\[ (12; 8) \]
