Реши способом подстановки систему уравнений: { x 2 + y 2 = 205 x y = 42 { x 2 +y 2 =205 xy=42 Запиши числа в полях ответа. Если решений несколько, тогда запиши ту пару значений, где x x наибольший. ( ( ; ; ) )
Чтобы решить систему уравнений
\[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 205 \\ xy = 42 \end{cases} \]
начнем с второго уравнения. Из него выразим \( y \):
\[ y = \frac{42}{x} \]
Теперь подставим это выражение во первое уравнение:
\[ x^2 + \left(\frac{42}{x}\right)^2 = 205 \]
Упростим это уравнение:
\[ x^2 + \frac{1764}{x^2} = 205 \]
Умножим обе стороны уравнения на \( x^2 \) (при условии, что \( x \neq 0 \)):
\[ x^4 - 205x^2 + 1764 = 0 \]
Обозначим \( z = x^2 \). Тогда уравнение принимает вид:
\[ z^2 - 205z + 1764 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = (-205)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1764 = 42025 - 7056 = 34969 \]
Находим корень из дискриминанта:
\[ \sqrt{34969} = 187 \]
Теперь найдем корни уравнения по формуле:
\[ z_{1,2} = \frac{205 \pm 187}{2} \]
Находим два корня:
\[ z_1 = \frac{392}{2} = 196, \quad z_2 = \frac{18}{2} = 9 \]
Теперь вернемся к \( x \):
- Если \( z_1 = 196 \), то \( x^2 = 196 \) и \( x = 14 \) или \( x = -14 \).
- Если \( z_2 = 9 \), то \( x^2 = 9 \) и \( x = 3 \) или \( x = -3 \).
Теперь подставим значения \( x \) в уравнение \( y = \frac{42}{x} \):
Для \( x = 14 \):
- \( y = \frac{42}{14} = 3 \)
- Пара (14, 3).
Для \( x = -14 \):
- \( y = \frac{42}{-14} = -3 \)
- Пара (-14, -3).
Для \( x = 3 \):
- \( y = \frac{42}{3} = 14 \)
- Пара (3, 14).
Для \( x = -3 \):
- \( y = \frac{42}{-3} = -14 \)
- Пара (-3, -14).
Теперь выбираем пары с наибольшим \( x \). Это пары (14, 3) и (3, 14).
Наибольший \( x \) – это 14, значит, нужная пара значений:
\[ (14; 3) \]
Ответ: \( (14; 3) \)
