4х²-8х+3/4х²-1

Для работы с выражением \( \frac{4x^2 - 8x + 3}{4x^2 - 1} \) начнем с изучения числителя и знаменателя.

1. Числитель: \( 4x^2 - 8x + 3 \) Это квадратный trinomial (троичный полином), который можно факторизовать. Чтобы упростить его, используем формулу для нахождения корней:

   \( D = b^2 - 4ac \) где \( a = 4 \), \( b = -8 \), \( c = 3 \).

   Подставляем значения: \[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16. \]

   Поскольку дискриминант положителен, у нас есть два действительных корня: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 4}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}, \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 4}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}. \]

   Таким образом, числитель можно записать в факторизованном виде: \[ 4x^2 - 8x + 3 = 4(x - \frac{3}{2})(x - \frac{1}{2}). \]

2. Знаменатель: \( 4x^2 - 1 \) Это разность квадратов, которую также можно факторизовать: \[ 4x^2 - 1 = (2x - 1)(2x + 1). \]

Теперь подставим эти факторизованные выражения обратно в дробь: \[ \frac{4(x - \frac{3}{2})(x - \frac{1}{2})}{(2x - 1)(2x + 1)}. \]

Мы можем заметить, что в числителе 4 можно сократить, но только если у нас есть общие множители в числителе и знаменателе. Однако, в данном выражении общих множителей нет.

В результате, это выражение можно оставить в таком виде, или, если нужно, вычислить для конкретных значений \( x \). Если у вас есть дополнительные вопросы по этому материалу или другим темам, не стесняйтесь спрашивать!