Х²-8х-24<0
Чтобы решить неравенство \( х² - 8х - 24 < 0 \), начнем с нахождения корней соответствующего квадратного уравнения \( х² - 8х - 24 = 0 \).
Мы можем использовать формулу корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
В нашем случае:
- \( a = 1 \)
- \( b = -8 \)
- \( c = -24 \)
Сначала найдем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 64 + 96 = 160 \]
Теперь подставим значения в формулу:
\[ x = \frac{8 \pm \sqrt{160}}{2} \]
Упростим \( \sqrt{160} \):
\[ \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10} \]
Теперь подставим его обратно:
\[ x = \frac{8 \pm 4\sqrt{10}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{10} \]
Таким образом, корни уравнения \( x_1 = 4 - 2\sqrt{10} \) и \( x_2 = 4 + 2\sqrt{10} \).
Теперь нам нужно определить знак функции \( f(x) = x² - 8х - 24 \) на промежутках между корнями. Мы можем выбрать тестовые значения в интервалах:
- \( (-\infty, 4 - 2\sqrt{10}) \)
- \( (4 - 2\sqrt{10}, 4 + 2\sqrt{10}) \)
- \( (4 + 2\sqrt{10}, +\infty) \)
Проверим знак в каждом интервале:
Для \( x < 4 - 2\sqrt{10} \) (например, \( x = -10 \)): \( f(-10) = (-10)² - 8(-10) - 24 > 0 \) (функция положительна)
Для \( 4 - 2\sqrt{10} < x < 4 + 2\sqrt{10} \) (например, \( x = 0 \)): \( f(0) = 0² - 8 \cdot 0 - 24 < 0 \) (функция отрицательна)
Для \( x > 4 + 2\sqrt{10} \) (например, \( x = 10 \)): \( f(10) = 10² - 8 \cdot 10 - 24 > 0 \) (функция положительна)
Итак, неравенство \( x² - 8x - 24 < 0 \) выполняется на промежутке:
\[ (4 - 2\sqrt{10}, 4 + 2\sqrt{10}) \]
Это и будет ответом к вашему вопросу.
