В треугольнике ABC внешний угол при вершине C равен 90°.Найдите длину медианы CD, опушенную на стороне AB, если CA= 15 и СВ=20
В треугольнике ABC внешний угол при вершине C равен 90°, что означает, что угол ACB равен 90°. Поскольку этот угол прямой, можно применить теорему о пифагоровых треугольниках для анализа треугольника ABC.
Нам даны следующие длины:
- CA = 15
- CB = 20
Сначала найдем длину стороны AB с помощью теоремы Пифагора. В прямоугольном треугольнике длина гипотенузы (в данном случае сторона AB) вычисляется по формуле:
\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]
Подставим известные значения:
\[ AB^2 = 15^2 + 20^2 \] \[ AB^2 = 225 + 400 \] \[ AB^2 = 625 \] \[ AB = \sqrt{625} = 25 \]
Теперь, чтобы найти длину медианы CD, опущенной на сторону AB, нам понадобится формула для длины медианы. Длина медианы CD, проведенной из вершины C к стороне AB, определяется по формуле:
\[ m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2} \]
где \( a \) и \( b \) — длины сторон AC и BC соответственно, а \( c \) — длина стороны AB. В нашем случае:
- a = CA = 15
- b = CB = 20
- c = AB = 25
Теперь подставим значения в формулу:
\[ m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 15^2 + 2 \cdot 20^2 - 25^2} \] \[ m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 225 + 2 \cdot 400 - 625} \] \[ m_c = \frac{1}{2} \sqrt{450 + 800 - 625} \] \[ m_c = \frac{1}{2} \sqrt{625} \] \[ m_c = \frac{1}{2} \cdot 25 \] \[ m_c = 12.5 \]
Таким образом, длина медианы CD, опущенной на сторону AB, равна 12.5.
