Условие задания: Дана прямоугольная трапеция, меньшее основание которой равно 4 см. Меньшая боковая сторона равна 10 см, а большая боковая сторона образует с основанием угол 45°. Найди площадь трапеции.

Чтобы найти площадь прямоугольной трапеции, можно воспользоваться формулой:

\[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}, \]

где \( S \) — площадь трапеции, \( a \) и \( b \) — длины оснований, а \( h \) — высота трапеции.

Дано:

• Меньшее основание \( a = 4 \) см.
• Меньшая боковая сторона \( = 10 \) см.
• Большая боковая сторона образует угол \( 45^\circ \) с основанием.

1. Найдём высоту трапеции \( h \). Учитывая, что боковая сторона, образующая угол \( 45^\circ \), также является гипотенузой прямоугольного треугольника, у нас есть: \[ h = a \cdot \tan(45^\circ) = a, \] где \( \tan(45^\circ) = 1 \). Это означает, что высота равна длине меньшего основания: \[ h = 10 \, см. \]

2. Теперь найдём длину большего основания \( b \). Обозначим его за \( x \). В прямоугольной трапеции средняя линия делит боковые стороны на два отрезка и соединяет два основания: \[ x - 4 = h \cdot \tan(45^\circ) = 10 \cdot 1 = 10, \] отсюда следует, \[ x = 10 + 4 = 14 \, см. \]

3. Теперь подставим известные значения в формулу площади: \[ S = \frac{(4 + 14) \cdot 10}{2} = \frac{18 \cdot 10}{2} = \frac{180}{2} = 90 \, см^2. \]

Таким образом, площадь трапеции равна \( 90 \, см^2 \).