Амбар деревенского жителя заполнен зерновыми культурами: овсом, гречихой и пшеном. Массы этих культур относятся друг к другу как 4: 7 : 10. Недавно владелец амбара увеличил массу овса на 3%, а массу гречихи — на 8%. На сколько процентов надо уменьшить массу пшена, чтобы общая масса зерна не изменилась и жителю не пришлось строить более вместительный амбар?
Обозначим массы овса, гречихи и пшена, соответственно, как \(4x\), \(7x\) и \(10x\), где \(x\) — некоторый положительный коэффициент.
Сначала найдем общую массу зерна:
\[ M_{\text{общ}} = 4x + 7x + 10x = 21x. \]
Теперь учтем изменения в массе овса и гречихи. Масса овса увеличивается на 3%, следовательно, новая масса овса составит:
\[ M_{\text{овса}}' = 4x + 0.03 \cdot 4x = 4x(1 + 0.03) = 4x \cdot 1.03 = 4.12x. \]
Масса гречихи увеличивается на 8%, следовательно, новая масса гречихи составит:
\[ M_{\text{гречихи}}' = 7x + 0.08 \cdot 7x = 7x(1 + 0.08) = 7x \cdot 1.08 = 7.56x. \]
Теперь найдем новую общую массу зерна после увеличения:
\[ M_{\text{новый}} = M_{\text{овса}}' + M_{\text{гречихи}}' + M_{\text{пшена}}. \]
Поскольку масса пшена остаётся \(10x\), запишем:
\[ M_{\text{новый}} = 4.12x + 7.56x + 10x = 21.68x. \]
Чтобы общая масса зерна осталась прежней (т.е. \(21x\)), нужно уменьшить массу пшена до \(M_{\text{пшена}}'^{}\):
\[ M_{\text{пшена}}' = 21x - (4.12x + 7.56x) = 21x - 11.68x = 9.32x. \]
Теперь найдем, на сколько процентов нужно уменьшить массу пшена:
- Исходная масса пшена: \(10x\).
- Новая масса пшена: \(9.32x\).
Теперь найдём разницу:
\[ \Delta M_{\text{пшена}} = 10x - 9.32x = 0.68x. \]
Процентное уменьшение будет равно:
\[ \frac{\Delta M_{\text{пшена}}}{10x} \cdot 100\% = \frac{0.68x}{10x} \cdot 100\% = 6.8\%. \]
Таким образом, массу пшена необходимо уменьшить на \(6.8\%\).
