Найдите длину наибольшего отрезка параллельного оси ордината лежащего внутри фигуры ограниченной параболами у=х²-10 и у=6-4х-х²
Для нахождения длины наибольшего отрезка, параллельного оси ординат, который лежит внутри фигуры, ограниченной двумя параболами \( y = x^2 - 10 \) и \( y = 6 - 4x - x^2 \), необходимо выполнить следующие шаги:
Найти точки пересечения парабол. Это можно сделать, приравняв их к друг другу: \[ x^2 - 10 = 6 - 4x - x^2. \] Приведем уравнение к стандартному виду, собрав все элементы в одну сторону: \[ 2x^2 + 4x - 16 = 0. \] Упростим уравнение, разделив все коэффициенты на 2: \[ x^2 + 2x - 8 = 0. \] Теперь можно найти корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36. \] Корни находятся по формуле: \[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{-2 \pm 6}}{2} = \frac{-2 + 6}{2}, \frac{-2 - 6}{2} = 2, -4. \]
Найти значения \( y \) в этих точках. Подставим \( x = 2 \) и \( x = -4 \) в обе параболы:
Для \( x = 2 \): \[ y = 2^2 - 10 = 4 - 10 = -6, \] \[ y = 6 - 4 \cdot 2 - 2^2 = 6 - 8 - 4 = -6. \]
Для \( x = -4 \): \[ y = (-4)^2 - 10 = 16 - 10 = 6, \] \[ y = 6 - 4 \cdot (-4) - (-4)^2 = 6 + 16 - 16 = 6. \]
Проверим границы области. Мы нашли точки пересечения: \( (2, -6) \) и \( (-4, 6) \). Таким образом, область, ограниченная этими параболами, имеет верхнюю границу \( y = 6 \) и нижнюю границу \( y = -6 \).
Найдем длину отрезка. Поскольку отрезок, параллельный оси \( y \), будет идти от верхней границы (-6) до нижней границы (6) в любой точке \( x \) от -4 до 2. Тогда длина максимального отрезка будет равна: \[ D = 6 - (-6) = 6 + 6 = 12. \]
Таким образом, длина наибольшего отрезка, параллельного оси ординат, равна \( 12 \).
