Найдите значение выражения 13-4√7/3 - √7+2/2-√7, предварительно изьавившись от иррациональности в знаменателе

Для того чтобы найти значение выражения \( \frac{13 - 4\sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}} - \frac{\sqrt{7} + 2}{2 - \sqrt{7}} \), сначала избавимся от иррациональности в знаменателях.

1. Первое выражение: \( \frac{13 - 4\sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}} \)

Мы умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( 3 + \sqrt{7} \):

\[ \frac{(13 - 4\sqrt{7})(3 + \sqrt{7})}{(3 - \sqrt{7})(3 + \sqrt{7})} \]

Сначала найдем знаменатель:

\[ (3 - \sqrt{7})(3 + \sqrt{7}) = 3^2 - (\sqrt{7})^2 = 9 - 7 = 2 \]

Теперь найдем числитель:

\[ (13 - 4\sqrt{7})(3 + \sqrt{7}) = 13 \cdot 3 + 13 \cdot \sqrt{7} - 4\sqrt{7} \cdot 3 - 4\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} \]

Это дает:

\[ 39 + 13\sqrt{7} - 12\sqrt{7} - 28 = 39 - 28 + (13\sqrt{7} - 12\sqrt{7}) = 11 + \sqrt{7} \]

Таким образом, первое выражение будет равно:

\[ \frac{11 + \sqrt{7}}{2} \]

2. Второе выражение: \( \frac{\sqrt{7} + 2}{2 - \sqrt{7}} \)

Также мы умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( 2 + \sqrt{7} \):

\[ \frac{(\sqrt{7} + 2)(2 + \sqrt{7})}{(2 - \sqrt{7})(2 + \sqrt{7})} \]

Сначала найдем знаменатель:

\[ (2 - \sqrt{7})(2 + \sqrt{7}) = 2^2 - (\sqrt{7})^2 = 4 - 7 = -3 \]

Теперь найдем числитель:

\[ (\sqrt{7} + 2)(2 + \sqrt{7}) = \sqrt{7} \cdot 2 + \sqrt{7} \cdot \sqrt{7} + 2 \cdot 2 + 2 \cdot \sqrt{7} \]

Это дает:

\[ 2\sqrt{7} + 7 + 4 + 2\sqrt{7} = 11 + 4\sqrt{7} \]

Теперь, подставляя полученные числители и знаменатели:

\[ \frac{11 + 4\sqrt{7}}{-3} \]

Таким образом, второе выражение будет равно:

\[ -\frac{11 + 4\sqrt{7}}{3} \]

3. Теперь объединим оба выражения:

\[ \frac{11 + \sqrt{7}}{2} - \left(-\frac{11 + 4\sqrt{7}}{3}\right) = \frac{11 + \sqrt{7}}{2} + \frac{11 + 4\sqrt{7}}{3} \]

Чтобы сложить дроби, найдем общий знаменатель, который будет равен 6:

\[ \frac{(11 + \sqrt{7}) \cdot 3}{6} + \frac{(11 + 4\sqrt{7}) \cdot 2}{6} \]

Это дает:

\[ \frac{3(11 + \sqrt{7}) + 2(11 + 4\sqrt{7})}{6} \]

Теперь, развивая числитель:

\[ = \frac{33 + 3\sqrt{7} + 22 + 8\sqrt{7}}{6} = \frac{55 + 11\sqrt{7}}{6} \]

Таким образом, окончательное значение выражения:

\[ \frac{55 + 11\sqrt{7}}{6} \]

Если есть вопросы по решению, не стесняйтесь спрашивать!