В прямоугольном треугольнике через середину его гипотенузы проведены прямые, параллельные его катетам. Найти периметр образовавшегося прямоугольника, если катеты треугольника равны 10 u 8.
Для решения задачи начнем с описания прямоугольного треугольника. Пусть \( AB \) — гипотенуза, а \( AC \) и \( BC \) — катеты. Пусть \( AC = 10 \) и \( BC = 8 \).
Длина гипотенузы \( AB \) находится по теореме Пифагора и равна:
\[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{10^2 + 8^2} = \sqrt{100 + 64} = \sqrt{164} = 2\sqrt{41} \]
Теперь найдем середину гипотенузы. Обозначим её точку \( M \).
Согласно условию задачи, из точки \( M \) проведены две прямые, параллельные катетам \( AC \) и \( BC \). Эти прямые образуют прямоугольник \( KLMN \).
Так как прямые, проведенные из точки \( M \), параллельны катетам, длины сторон прямоугольника равны половине длины катетов:
- Длина стороны \( KL \) (параллельно \( AC \)) равна \( \frac{BC}{2} = \frac{8}{2} = 4 \).
- Длина стороны \( KN \) (параллельно \( BC \)) равна \( \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5 \).
Теперь вычислим периметр прямоугольника:
\[ P = 2 \cdot (KL + KN) = 2 \cdot (4 + 5) = 2 \cdot 9 = 18 \]
Таким образом, периметр образовавшегося прямоугольника равен 18.
