Упростите выражение √5-√3/√5+√3 + √5+√3/√5-√3 В ответ введите квадрат получившегося значения
Давайте упростим данное выражение:
\[ \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}. \]
Для начала, найдем общий знаменатель для этих дробей. Общий знаменатель будет равен \((\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})\).
Теперь преобразуем каждую дробь:
Первая дробь: \[ \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}. \]
Вторая дробь: \[ \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}. \]
Теперь можем объединить дроби:
\[ \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 + (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}. \]
Посчитаем числитель:
\[ (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 = 5 - 2\sqrt{15} + 3 = 8 - 2\sqrt{15}, \] \[ (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15}. \]
Объединим их:
\[ (8 - 2\sqrt{15}) + (8 + 2\sqrt{15}) = 16. \]
Теперь у нас есть:
\[ \frac{16}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}. \]
Упрощаем знаменатель:
\[ (\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = 5 - 3 = 2. \]
Таким образом, выражение упрощается до:
\[ \frac{16}{2} = 8. \]
Теперь нужно найти квадрат получившегося значения:
\[ 8^2 = 64. \]
Ответ: 64.
