При каких значениях х выражение -х2 - 17х - 72 под корнем имеет смысл

Чтобы подкоренное выражение \(-x^2 - 17x - 72\) имело смысл, оно должно быть неотрицательным, то есть:

\[ -x^2 - 17x - 72 \geq 0 \]

Умножим неравенство на -1 (не забывая изменить знак неравенства):

\[ x^2 + 17x + 72 \leq 0 \]

Теперь найдем корни соответствующего уравнения \(x^2 + 17x + 72 = 0\) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 17^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72 = 289 - 288 = 1 \]

Корни находятся по формуле:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставим значения:

\[ x_1 = \frac{-17 + 1}{2} = \frac{-16}{2} = -8 \] \[ x_2 = \frac{-17 - 1}{2} = \frac{-18}{2} = -9 \]

Таким образом, корни уравнения: \(x_1 = -8\) и \(x_2 = -9\).

Теперь найдем, при каких значениях \(x\) многочлен \(x^2 + 17x + 72\) меньше или равен нулю. Парабола, описываемая этим уравнением, открывается вверх (поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный) и имеет свои нули в \(x = -9\) и \(x = -8\).

Следовательно, многочлен меньше или равен нулю на промежутке:

\[ [-9, -8] \]

Таким образом, выражение \(-x^2 - 17x - 72\) под корнем имеет смысл при \(x \in [-9, -8]\).