В треугольнике АВС угол С прямой, АС = 3, ВС = 4. Найдите длину вектора СА - ВА.

В треугольнике ABC угол C является прямым, и нам даны длины сторон AC и BC. Применим теорему Пифагора для нахождения длины стороны AB:

\[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5. \]

Теперь обозначим векторы. Пусть:

• \( \vec{C} \) является началом координат (0, 0).
• \( \vec{A} = (3, 0) \), так как AC = 3 и расположен по оси Х.
• \( \vec{B} = (0, 4) \), так как BC = 4 и расположен по оси Y.

Теперь найдем векторы \( \vec{CA} \) и \( \vec{BA} \):

\[ \vec{CA} = \vec{A} - \vec{C} = (3, 0) - (0, 0) = (3, 0), \]

\[ \vec{BA} = \vec{A} - \vec{B} = (3, 0) - (0, 4) = (3, -4). \]

Теперь найдем вектор \( \vec{CA} - \vec{BA} \):

\[ \vec{CA} - \vec{BA} = (3, 0) - (3, -4) = (3 - 3, 0 - (-4)) = (0, 4). \]

Длина вектора \( \vec{CA} - \vec{BA} \) равна:

\[ ||\vec{CA} - \vec{BA}|| = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4. \]

Таким образом, длина вектора \( \vec{CA} - \vec{BA} \) равна 4.