Докажите, что четырёхугольник ABCD является прямоуголтником, и найдите его площадь, если а) A(-3;-1), B(1;-1) , C(1;-3), D(-3;-3) б ) A (4:1), B(3;5) C(-1;4), D(0;0)

Question 1

Задача Задача №2335649

А

Аноним

25 ноября 2024 15:44 · публичный вопрос

А

Аноним 25 ноября 2024 15:44

Докажите, что четырёхугольник ABCD является прямоуголтником, и найдите его площадь, если а) A(-3;-1), B(1;-1) , C(1;-3), D(-3;-3) б ) A (4:1), B(3;5) C(-1;4), D(0;0)

Answer

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, необходимо показать, что углы в вершинах равны 90 градусам. Это можно сделать, проверив, что векторы, образующие соседние стороны, перпендикулярны друг другу.

Часть а)

Координаты вершин:
- A(-3; -1)
- B(1; -1)
- C(1; -3)
- D(-3; -3)
Найдем векторы AB, BC, CD и DA:
- Вектор AB = B - A = (1 - (-3), -1 - (-1)) = (4, 0)
- Вектор BC = C - B = (1 - 1, -3 - (-1)) = (0, -2)
- Вектор CD = D - C = (-3 - 1, -3 - (-3)) = (-4, 0)
- Вектор DA = A - D = (-3 - (-3), -1 - (-3)) = (0, 2)
Проверим перпендикулярность:
- Векторы AB и BC: скалярное произведение AB · BC = 4 * 0 + 0 * (-2) = 0 (перпендикулярны)
- Векторы BC и CD: скалярное произведение BC · CD = 0 * (-4) + (-2) * 0 = 0 (перпендикулярны)
- Векторы CD и DA: скалярное произведение CD · DA = (-4) * 0 + 0 * 2 = 0 (перпендикулярны)
- Векторы DA и AB: скалярное произведение DA · AB = 0 * 4 + 2 * 0 = 0 (перпендикулярны)

Все углы равны 90 градусам, значит, четырехугольник ABCD является прямоугольником.

Найдем площадь: Поскольку ABCD - прямоугольник, его площадь может быть найдена по формуле: \[ S = AB \times BC \] Для этого найдем длины сторон:
- Длина AB = |B - A| = √(4² + 0²) = 4
- Длина BC = |C - B| = √(0² + (-2)²) = 2

Таким образом: \[ S = 4 \times 2 = 8 \] Площадь четырехугольника ABCD равна 8 квадратным единицам.

Часть б)

Координаты вершин:
- A(4; 1)
- B(3; 5)
- C(-1; 4)
- D(0; 0)
Найдем векторы AB, BC, CD и DA:
- Вектор AB = B - A = (3 - 4, 5 - 1) = (-1, 4)
- Вектор BC = C - B = (-1 - 3, 4 - 5) = (-4, -1)
- Вектор CD = D - C = (0 - (-1), 0 - 4) = (1, -4)
- Вектор DA = A - D = (4 - 0, 1 - 0) = (4, 1)
Проверим перпендикулярность:
- Векторы AB и BC: скалярное произведение AB · BC = (-1) * (-4) + 4 * (-1) = 4 - 4 = 0 (перпендикулярны)
- Векторы BC и CD: скалярное произведение BC · CD = (-4) * 1 + (-1) * (-4) = -4 + 4 = 0 (перпендикулярны)
- Векторы CD и DA: скалярное произведение CD · DA = 1 * 4 + (-4) * 1 = 4 - 4 = 0 (перпендикулярны)
- Векторы DA и AB: скалярное произведение DA · AB = 4 * (-1) + 1 * 4 = -4 + 4 = 0 (перпендикулярны)

Все углы равны 90 градусам, значит, четырехугольник ABCD является прямоугольником.

Найдем площадь: \[ S = AB \times BC \] Найдём длины сторон:
- Длина AB = |B - A| = √((-1)² + 4²) = √(1 + 16) = √17
- Длина BC = |C - B| = √((-4)² + (-1)²) = √(16 + 1) = √17

Таким образом: \[ S = √17 \times √17 = 17 \] Площадь четырехугольника ABCD равна 17 квадратным единицам.

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другой темой, не стесняйтесь задавать!

Question 2

Докажите, что четырёхугольник ABCD является прямоуголтником, и найдите его площадь, если а) A(-3;-1), B(1;-1) , C(1;-3), D(-3;-3) б ) A (4:1), B(3;5) C(-1;4), D(0;0)

Answer

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, необходимо показать, что углы в вершинах равны 90 градусам. Это можно сделать, проверив, что векторы, образующие соседние стороны, перпендикулярны друг другу. ### Часть а) 1. **Координаты вершин**: - A(-3; -1) - B(1; -1) - C(1; -3) - D(-3; -3) 2. **Найдем векторы AB, BC, CD и DA**: - Вектор AB = B - A = (1 - (-3), -1 - (-1)) = (4, 0) - Вектор BC = C - B = (1 - 1, -3 - (-1)) = (0, -2) - Вектор CD = D - C = (-3 - 1, -3 - (-3)) = (-4, 0) - Вектор DA = A - D = (-3 - (-3), -1 - (-3)) = (0, 2) 3. **Проверим перпендикулярность**: - Векторы AB и BC: скалярное произведение AB · BC = 4 * 0 + 0 * (-2) = 0 (перпендикулярны) - Векторы BC и CD: скалярное произведение BC · CD = 0 * (-4) + (-2) * 0 = 0 (перпендикулярны) - Векторы CD и DA: скалярное произведение CD · DA = (-4) * 0 + 0 * 2 = 0 (перпендикулярны) - Векторы DA и AB: скалярное произведение DA · AB = 0 * 4 + 2 * 0 = 0 (перпендикулярны) Все углы равны 90 градусам, значит, четырехугольник ABCD является прямоугольником. 4. **Найдем площадь**: Поскольку ABCD - прямоугольник, его площадь может быть найдена по формуле: \[ S = AB \times BC \] Для этого найдем длины сторон: - Длина AB = |B - A| = √(4² + 0²) = 4 - Длина BC = |C - B| = √(0² + (-2)²) = 2 Таким образом: \[ S = 4 \times 2 = 8 \] Площадь четырехугольника ABCD равна 8 квадратным единицам. ### Часть б) 1. **Координаты вершин**: - A(4; 1) - B(3; 5) - C(-1; 4) - D(0; 0) 2. **Найдем векторы AB, BC, CD и DA**: - Вектор AB = B - A = (3 - 4, 5 - 1) = (-1, 4) - Вектор BC = C - B = (-1 - 3, 4 - 5) = (-4, -1) - Вектор CD = D - C = (0 - (-1), 0 - 4) = (1, -4) - Вектор DA = A - D = (4 - 0, 1 - 0) = (4, 1) 3. **Проверим перпендикулярность**: - Векторы AB и BC: скалярное произведение AB · BC = (-1) * (-4) + 4 * (-1) = 4 - 4 = 0 (перпендикулярны) - Векторы BC и CD: скалярное произведение BC · CD = (-4) * 1 + (-1) * (-4) = -4 + 4 = 0 (перпендикулярны) - Векторы CD и DA: скалярное произведение CD · DA = 1 * 4 + (-4) * 1 = 4 - 4 = 0 (перпендикулярны) - Векторы DA и AB: скалярное произведение DA · AB = 4 * (-1) + 1 * 4 = -4 + 4 = 0 (перпендикулярны) Все углы равны 90 градусам, значит, четырехугольник ABCD является прямоугольником. 4. **Найдем площадь**: \[ S = AB \times BC \] Найдём длины сторон: - Длина AB = |B - A| = √((-1)² + 4²) = √(1 + 16) = √17 - Длина BC = |C - B| = √((-4)² + (-1)²) = √(16 + 1) = √17 Таким образом: \[ S = √17 \times √17 = 17 \] Площадь четырехугольника ABCD равна 17 квадратным единицам. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другой темой, не стесняйтесь задавать!