урне находится 5 шаров: 2 белых и 3 черных. Наугад вытаскивают 2 шара. Какова вероятность того, что вытащенные шары будут одного цвета?
Чтобы найти вероятность того, что вытащенные шары будут одного цвета, сначала выясним общее количество возможных способов выбрать 2 шара из 5.
Общее количество способов выбора 2 шаров из 5 можно рассчитать с помощью биномиального коэффициента:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Где \( n \) — общее количество объектов, а \( k \) — количество объектов, которые мы выбираем. В нашем случае \( n = 5 \) и \( k = 2 \):
\[ C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \]
Теперь найдем количество благоприятных исходов, то есть количество способов выбрать 2 шара одного цвета.
Выбор 2 белых шаров: У нас 2 белых шара, и мы хотим выбрать 2 из них: \[ C(2, 2) = 1 \]
Выбор 2 черных шаров: У нас 3 черных шара, и мы хотим выбрать 2 из них: \[ C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3 \]
Теперь суммируем количество способов выбрать шары одного цвета: \[ 1 \text{ (белых)} + 3 \text{ (черных)} = 4 \]
Наконец, вероятность того, что вытащенные шары будут одного цвета, равна количеству благоприятных исходов, делённому на общее количество исходов:
\[ P(\text{одного цвета}) = \frac{\text{количество благоприятных исходов}}{\text{общее количество исходов}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \]
Таким образом, вероятность того, что вытащенные шары будут одного цвета, составляет \(\frac{2}{5}\) или 0.4.
