Хорды окружности АВ и СР пересекаются в точке О. Найти длину отрезков РО и СО, если СР=16, АО=7 см, ВО=4 см
Для решения данной задачи воспользуемся свойством пересекающихся хорд в круге. Если две хорды \( AB \) и \( CP \) пересекаются в точке \( O \), то справедливо следующее равенство:
\[ AO \cdot BO = CO \cdot PO \]
Дано:
- \( AO = 7 \, \text{см} \)
- \( BO = 4 \, \text{см} \)
- \( CP = 16 \, \text{см} \) (это вся длина хорды \( CP \))
Обозначим длины отрезков, которые нам нужно найти:
- \( CO = x \)
- \( PO = y \)
Тогда справедливо:
\[ CO + PO = CP \implies x + y = 16 \]
Согласно свойству пересекающихся хорд:
\[ AO \cdot BO = CO \cdot PO \implies 7 \cdot 4 = x \cdot y \implies 28 = x \cdot y \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- \( x + y = 16 \)
- \( xy = 28 \)
Из первого уравнения выразим \( y \):
\[ y = 16 - x \]
Подставим это значение во второе уравнение:
\[ x(16 - x) = 28 \]
Раскроем скобки:
\[ 16x - x^2 = 28 \]
Переносим все в одну сторону:
\[ x^2 - 16x + 28 = 0 \]
Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28 = 256 - 112 = 144 \]
Так как дискриминант положительный, есть два различных корня:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 \pm 12}{2} \]
Выражаем корни:
- \( x_1 = \frac{28}{2} = 14 \)
- \( x_2 = \frac{4}{2} = 2 \)
Таким образом, \( x \) может быть либо 14, либо 2. Подставим в уравнение \( y = 16 - x \):
- Если \( x = 14 \), то \( y = 16 - 14 = 2 \).
- Если \( x = 2 \), то \( y = 16 - 2 = 14 \).
Таким образом, мы находим, что:
- \( CO = 2 \, \text{см}, \, PO = 14 \, \text{см} \) или
- \( CO = 14 \, \text{см}, \, PO = 2 \, \text{см} \).
Итак, длины отрезков \( PO \) и \( CO \) равны 14 см и 2 см соответственно.
