2x²+13x-7>0
Чтобы решить неравенство \(2x^2 + 13x - 7 > 0\), давайте сначала найдем корни соответствующего равенства \(2x^2 + 13x - 7 = 0\) с помощью дискриминанта.
Определим коэффициенты:
- \(a = 2\)
- \(b = 13\)
- \(c = -7\)
Вычислим дискриминант \(D\): \[ D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 169 + 56 = 225 \]
Находим корни: Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два разных корня, которые можно найти с помощью формулы: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 \pm \sqrt{225}}{2 \cdot 2} \] \[ x_{1,2} = \frac{-13 \pm 15}{4} \]
Находим корни: \[ x_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] \[ x_2 = \frac{-28}{4} = -7 \]
Решим неравенство: Теперь у нас есть корни \(x_1 = \frac{1}{2}\) и \(x_2 = -7\). Неравенство \(2x^2 + 13x - 7 > 0\) будет выполняться на интервалах, в которых парабола находится выше оси \(x\).
Для поиска интервалов, проверим знаки полинома между корнями и за ними:
- Для \(x < -7\) (например, \(x = -8\)): \[ 2(-8)^2 + 13(-8) - 7 = 128 - 104 - 7 > 0 \]
- Для \(-7 < x < \frac{1}{2}\) (например, \(x = 0\)): \[ 2(0)^2 + 13(0) - 7 = -7 < 0 \]
- Для \(x > \frac{1}{2}\) (например, \(x = 1\)): \[ 2(1)^2 + 13(1) - 7 = 2 + 13 - 7 = 8 > 0 \]
Записываем результат: Таким образом, неравенство выполняется на интервалах: \[ (-\infty, -7) \cup \left(\frac{1}{2}, +\infty\right) \]
Ответ: \(x \in (-\infty, -7) \cup \left(\frac{1}{2}, +\infty\right)\).
