Ящике стола у Кирилла лежат 11 гелевых ручек и 16 Шариков. Мальчик наугад достает из ящика ручки до тех пор, пока не выкинет гелевую. Какова вероятность, что гелевая ручка будет вытянуты третий по счёту

Чтобы найти вероятность того, что гелевая ручка будет вытянута третьей по счёту, сначала необходимо понимать, каким образом это может произойти. Для того чтобы гелевая ручка оказалась третьей, необходимо, чтобы в первых двух вытянутых ручках оказались шариковые.

Обозначим количество гелевых ручек как \(G = 11\) и количество шариковых ручек как \(S = 16\). Общее количество ручек равно \(G + S = 27\).

Для того чтобы третья ручка была гелевой, каждая из первых двух ручек должна быть шариковой. Определим вероятность этого события:

1. Вероятность того, что первая ручка будет шариковой: \[ P(1) = \frac{S}{G + S} = \frac{16}{27} \]

2. После того как первая ручка была шариковой, в ящике останется \(S - 1 = 15\) шариковых ручек и \(G = 11\) гелевых ручек, что даёт в сумме \(26\) ручек. Вероятность того, что вторая ручка также будет шариковой: \[ P(2) = \frac{15}{26} \]

3. Теперь в ящике останется \(S - 2 = 14\) шариковых ручек и \(G = 11\) гелевых ручек, что даёт всего \(25\) ручек. Вероятность того, что третья ручка будет гелевой: \[ P(3) = \frac{G}{G + S - 2} = \frac{11}{25} \]

Теперь умножим все эти вероятности, чтобы получить общую вероятность того, что первая и вторая ручки окажутся шариковыми, а третья — гелевой:

\[ P = P(1) \cdot P(2) \cdot P(3) = \frac{16}{27} \cdot \frac{15}{26} \cdot \frac{11}{25} \]

Теперь давайте вычислим это:

\[ P = \frac{16 \cdot 15 \cdot 11}{27 \cdot 26 \cdot 25} \]

Вычислим числитель и знаменатель:

Числитель: \(16 \cdot 15 = 240\), \(240 \cdot 11 = 2640\).

Знаменатель: \(27 \cdot 26 = 702\), \(702 \cdot 25 = 17550\).

Таким образом,

\[ P = \frac{2640}{17550} \]

Упростим дробь на 30:

\[ P = \frac{88}{585} \]

Итак, вероятность того, что гелевая ручка будет вытянута третьей, составляет \(\frac{88}{585}\).