Вариант 2 1. Дано: D - середина AС, ZADF = 90° (рис. 2.74). Доказать: ДАВС - равнобедренный. 2. Дано: ДАВС - равнобедренный, ВО - бистектриса (рис. 2.75). Доказать: ДАВО = ДСВО.…
Вариант 2 1. Дано: D - середина AС, ZADF = 90° (рис. 2.74). Доказать: ДАВС - равнобедренный. 2. Дано: ДАВС - равнобедренный, ВО - бистектриса (рис. 2.75). Доказать: ДАВО = ДСВО. 3. Периметр равнобедренного треугольника равен 48 см, боковая сторона - 15 см. Найдите основание этого треугольника.
Доказательство, что треугольник ДАВС - равнобедренный.
Дано, что D - середина AC. Это значит, что AD = DC. Поскольку угол ZADF равен 90°, треугольник ДАF и треугольник ДCФ являются прямоугольными.
В прямоугольном треугольнике ДАF по теореме Пифагора:
\( DA^2 + AF^2 = DF^2 \) и
В прямоугольном треугольнике ДCФ:
\( DC^2 + CF^2 = DF^2 \).
Поскольку AD = DC, можем приравнять:
\( AD^2 + AF^2 = DC^2 + CF^2 \).
Таким образом, получаем равенство:
\( AF^2 = CF^2 \).
По свойствам равных отрезков получаем, что AF = CF. Это значит, что угол ADF равен углу CDF (по равенству противолежащих сторон). Таким образом, треугольники ДАФ и ДCФ равны, следовательно, угол ДАВ = угол ДЦВ.
Следовательно, треугольник ДАВС - равнобедренный.
Доказательство, что ДАВО = ДСВО.
Мы знаем, что ДАВС - равнобедренный треугольник. Это подразумевает, что AD = DC и угол ДАВ равен углу ДЦВ. Кроме того, BO - биссектрисса, которая делит угол А на два равных угла.
Исходя из теоремы о биссектрисе, можем утверждать, что:
\( \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AO}{OC} \).
Так как AB = AC, то получаем, что AO = OC. Это значит, что ось биссектрисы BO - равнобедренная, и следовательно, угол ДАО = угол ДСО.
Поскольку у нас равны углы и равны боковые стороны AD и DC, треугольники ДАВО и ДСВО равны по критерию на равенство (по двум углам и стороне). Таким образом, ДАВО = ДСВО.
Нахождение основания равнобедренного треугольника.
Известно, что периметр равнобедренного треугольника равен 48 см, а боковая сторона равна 15 см. Обозначим основание треугольника как x.
Периметр равнобедренного треугольника можно выразить как:
\( 2 * боковая\_сторона + основание = 48 \).
Подставляя известные значения:
\( 2 * 15 + x = 48 \),
\( 30 + x = 48 \).
Теперь вычтем 30 из обеих сторон уравнения:
\( x = 48 - 30 \),
\( x = 18 \).
Таким образом, основание данного равнобедренного треугольника равно 18 см.
