В некотором городе проходят соревнования по стрельбе из лука. Каждому спортсмену необходимо поразить 5 мишеней. На каждую мишень дается 2 попытки. Некоторый стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,7. Найдите вероятность события ,,стрелок поразит 4 из 5 мишеней,,
Для решения данной задачи можно использовать биномиальное распределение.
Обозначим:
- \( n = 5 \) (количество мишеней),
- \( k = 4 \) (количество мишеней, которые стрелок должен поразить),
- \( p = 0,7 \) (вероятность попадания в одну мишень),
- \( q = 1 - p = 0,3 \) (вероятность промаха).
Однако, у нас есть по 2 попытки на каждую мишень. Это означает, что стрелок будет попадать в мишень с вероятностью:
\[ P(\text{попадание в мишень}) = p + (q \cdot p) = 0,7 + (0,3 \cdot 0,7) = 0,7 + 0,21 = 0,91 \]
Обозначим это теперь как \( p' = 0,91 \). Теперь вероятность промаха в мишени будет:
\[ q' = 1 - p' = 0,09 \]
Теперь нам нужно найти вероятность того, что стрелок поразит ровно 4 мишени из 5. Используем формулу для биномиального распределения:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot (p')^k \cdot (q')^{n-k} \]
где \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, вычисляемый как:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Теперь подставим наши значения:
\[ C(5, 4) = \frac{5!}{4! \cdot (5-4)!} = \frac{5}{1} = 5 \]
Теперь подставляем значения в формулу:
\[ P(X = 4) = C(5, 4) \cdot (p')^4 \cdot (q')^{5-4} \]
\[ P(X = 4) = 5 \cdot (0,91)^4 \cdot (0,09)^1 \]
Теперь вычислим:
\[ (0,91)^4 \approx 0,6859 \]
\[ (0,09)^1 = 0,09 \]
Теперь подставим эти значения:
\[ P(X = 4) \approx 5 \cdot 0,6859 \cdot 0,09 \]
\[ P(X = 4) \approx 5 \cdot 0,061731 \approx 0,308655 \]
Таким образом, вероятность того, что стрелок поразит 4 из 5 мишеней, составляет примерно 0,3087 (или 30,87%).
