x²-3x<=0 9x2-16>0
Чтобы решить неравенства \( x^2 - 3x \leq 0 \) и \( 9x^2 - 16 > 0 \), давайте разберем каждое из них по порядку.
Решение первого неравенства: \( x^2 - 3x \leq 0 \)
Мы можем сначала вынести \( x \) за скобки: \[ x(x - 3) \leq 0 \] Теперь необходимо найти корни данного уравнения:
- \( x = 0 \)
- \( x - 3 = 0 \) → \( x = 3 \)
Теперь у нас есть два корня: \( x = 0 \) и \( x = 3 \). Мы можем разбить числовую ось на три интервала:
- \( (-\infty, 0) \)
- \( (0, 3) \)
- \( (3, \infty) \)
Теперь проверим каждый интервал:
- В интервале \( (-\infty, 0) \) (пусть \( x = -1 \)): \( (-1)(-1 - 3) = (-1)(-4) = 4 > 0 \)
- В интервале \( (0, 3) \) (пусть \( x = 1 \)): \( (1)(1 - 3) = (1)(-2) = -2 < 0 \)
- В интервале \( (3, \infty) \) (пусть \( x = 4 \)): \( (4)(4 - 3) = (4)(1) = 4 > 0 \)
Таким образом, неравенство выполняется только в интервале \( (0, 3) \). Не забываем, что в точках \( x = 0 \) и \( x = 3 \) неравенство также выполняется (поскольку мы имеем "равно").
Итак, решение: \[ 0 \leq x \leq 3 \]
Решение второго неравенства: \( 9x^2 - 16 > 0 \)
Начнем с нахождения корней: \[ 9x^2 - 16 = 0 \implies 9x^2 = 16 \implies x^2 = \frac{16}{9} \implies x = \pm \frac{4}{3} \]
Теперь у нас есть два корня: \( x = -\frac{4}{3} \) и \( x = \frac{4}{3} \). Мы можем разделить числовую ось на три интервала:
- \( (-\infty, -\frac{4}{3}) \)
- \( (-\frac{4}{3}, \frac{4}{3}) \)
- \( (\frac{4}{3}, \infty) \)
Также проверим каждый интервал:
- В интервале \( (-\infty, -\frac{4}{3}) \) (пусть \( x = -2 \)): \( 9(-2)^2 - 16 = 36 - 16 = 20 > 0 \)
- В интервале \( (-\frac{4}{3}, \frac{4}{3}) \) (пусть \( x = 0 \)): \( 9(0)^2 - 16 = 0 - 16 = -16 < 0 \)
- В интервале \( (\frac{4}{3}, \infty) \) (пусть \( x = 2 \)): \( 9(2)^2 - 16 = 36 - 16 = 20 > 0 \)
Таким образом, неравенство выполняется в интервалах \( (-\infty, -\frac{4}{3}) \) и \( (\frac{4}{3}, \infty) \).
Итак, решение: \[ x < -\frac{4}{3} \quad или \quad x > \frac{4}{3} \]
Теперь вы имеете полное представление о том, как решать оба неравенства. Если у вас есть дополнительные вопросы или необходимо разъяснить определенные аспекты, не стесняйтесь спрашивать!
