1. постройте график функции y=x^2-8x+7 используя график найдите : 1) область значений данной функции 2) промежуток возрастания и промежуток убывания функции 3) при каких значениях…
1. постройте график функции y=x^2-8x+7 используя график найдите : 1) область значений данной функции 2) промежуток возрастания и промежуток убывания функции 3) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения, а при каких отрицательные. 2. при каком значении c наименьшее значение функции y=7x^2-14x+c равно -6? 3.чему равна абсцисса вершины параболы y=2x^2+36x-11?
Давайте по порядку решим ваши задачи.
1. Построим график функции \( y = x^2 - 8x + 7 \)
Чтобы построить график, сначала найдем основные характеристики параболы.
a) Область значений функции:
Функция имеет вид \( y = ax^2 + bx + c \), где \( a = 1 \), \( b = -8 \), \( c = 7 \). Поскольку \( a > 0 \), парабола открыта вверх, и наименьшее значение функции будет находиться в вершине.
Для нахождения абсциссы вершины параболы используем формулу: \[ x_{верш} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = 4 \]
Теперь подставим \( x = 4 \) в уравнение функции, чтобы найти минимальное значение: \[ y_{min} = (4)^2 - 8 \cdot 4 + 7 = 16 - 32 + 7 = -9 \]
Таким образом, область значений функции — это все значения, начиная от -9, до бесконечности: \[ [-9, +\infty) \]
b) Промежуток возрастания и убывания функции:
Функция убывает на промежутке \( (-\infty, 4) \) и возрастает на промежутке \( (4, +\infty) \).
c) Положительные и отрицательные значения функции:
Чтобы определить, при каких значениях аргумента функция положительна или отрицательна, найдем корни уравнения: \[ x^2 - 8x + 7 = 0 \] Используя формулу для нахождения корней: \[ x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{8 \pm 6}{2} \] Находим корни: \[ x_1 = \frac{14}{2} = 7, \quad x_2 = \frac{2}{2} = 1 \] Значит, функция положительна на промежутках \( (-\infty, 1) \) и \( (7, +\infty) \), а отрицательна на промежутке \( (1, 7) \).
2. При каком значении \( c \) наименьшее значение функции \( y = 7x^2 - 14x + c \) равно -6?
Ищем наименьшее значение такой же параболы: \[ y_{min} = -\frac{D}{4a} = c - \frac{(-14)^2}{4 \cdot 7} \] Находим \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 7 \cdot c = 196 - 28c \] Подставляем полученное: \[ c - \frac{196}{28} = -6 \] Упрощаем: \[ c - 7 = -6 \Rightarrow c = 1 \]
3. Чему равна абсцисса вершины параболы \( y = 2x^2 + 36x - 11 \)?
Находим абсциссу вершины по формуле: \[ x_{верш} = -\frac{b}{2a} = -\frac{36}{2 \cdot 2} = -\frac{36}{4} = -9 \]
Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!
