На рисунке изображён прямоугольник ABCDABCD . Точки KK , LL , MM , NN — середины его сторон. Найди вероятность, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать…
На рисунке изображён прямоугольник ABCDABCD. Точки KK, LL, MM, NN — середины его сторон. Найди вероятность, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать четырёхугольнику AMCKAMCK
Чтобы найти вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике ABCD будет принадлежать четырёхугольнику AMCK, необходимо сначала определить площади прямоугольника и четырёхугольника.
Площадь прямоугольника ABCD: Обозначим стороны прямоугольника как \( a \) и \( b \). Тогда площадь прямоугольника \( S_{ABCD} \) будет равна: \[ S_{ABCD} = a \times b \]
Определение точек K, L, M, N:
- K - середина стороны AB,
- L - середина стороны BC,
- M - середина стороны CD,
- N - середина стороны DA.
Поскольку K, L, M и N являются серединами, координаты этих точек можно выразить как:
- K \(\left( \frac{a}{2}, 0 \right)\),
- L \(\left( a, \frac{b}{2} \right)\),
- M \(\left( \frac{a}{2}, b \right)\),
- N \(\left( 0, \frac{b}{2} \right)\).
Площадь четырёхугольника AMCK: Четырёхугольник AMCK можно разделить на два треугольника: треугольник AMC и треугольник AKC.
Чтобы найти площадь AMCK, удобно использовать формулу для площади треугольника по вершинам: \[ S_{triangle} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \]
Для треугольника AMC:
- Вершины A(0, 0), M(\(\frac{a}{2}, b\)), C(a, b) \[ S_{AMC} = \frac{1}{2} \left| 0(b - b) + \frac{a}{2}(b - 0) + a(0 - b) \right| = \frac{1}{2} \left| \frac{ab}{2} - ab \right| = \frac{ab}{4} \]
Для треугольника AKC:
- Вершины A(0, 0), K(\(\frac{a}{2}, 0\)), C(a, b) \[ S_{AKC} = \frac{1}{2} \left| 0(0 - b) + \frac{a}{2}(b - 0) + a(0 - 0) \right| = \frac{1}{2} \left| \frac{ab}{2} \right| = \frac{ab}{4} \]
Суммарная площадь четырёхугольника AMCK: \[ S_{AMCK} = S_{AMC} + S_{AKC} = \frac{ab}{4} + \frac{ab}{4} = \frac{ab}{2} \]
Вероятность: Вероятность того, что случайно выбранная точка будет принадлежать четырёхугольнику AMCK, определяется как отношение площади AMCK к площади ABCD: \[ P = \frac{S_{AMCK}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{ab}{2}}{ab} = \frac{1}{2} \]
Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать четырёхугольнику AMCK, равна \( \frac{1}{2} \) или 50%.
