Cos2x-3sin(-x)-2=0 [3П;9П/2]

Чтобы решить уравнение \( \cos(2x) - 3\sin(-x) - 2 = 0 \), давайте разберемся с его частями.

Сначала заметим, что \( \sin(-x) = -\sin(x) \). Подставим это в уравнение:

\[ \cos(2x) + 3\sin(x) - 2 = 0 \]

Теперь запишем стандартные тригонометрические тождества. Мы знаем, что \( \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 \) (один из вариантов). Подставим это в уравнение:

\[ 2\cos^2(x) - 1 + 3\sin(x) - 2 = 0 \]

Упростим уравнение:

\[ 2\cos^2(x) + 3\sin(x) - 3 = 0 \]

Так как \( \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \), подставим это:

\[ 2(1 - \sin^2(x)) + 3\sin(x) - 3 = 0 \]

Раскроем скобки:

\[ 2 - 2\sin^2(x) + 3\sin(x) - 3 = 0 \]

Соберем все в одном уравнении:

\[ -2\sin^2(x) + 3\sin(x) - 1 = 0 \]

Умножим все уравнение на -1:

\[ 2\sin^2(x) - 3\sin(x) + 1 = 0 \]

Теперь это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \]

Корни уравнения находятся по формуле:

\[ \sin(x) = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 1}{2 \cdot 2} \]

Таким образом, у нас есть два корня:

1. \( \sin(x) = \frac{4}{4} = 1 \)
2. \( \sin(x) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)

Теперь найдем \( x \) для каждого из случаев в пределах \( [3\pi; \frac{9\pi}{2}] \):

1. Для \( \sin(x) = 1 \): \( x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \).

   • В пределах \( [3\pi, \frac{9\pi}{2}] \) это скаляр \( k = 1 \): \( \frac{3\pi}{2} + 2\pi = \frac{7\pi}{2} \).

2. Для \( \sin(x) = \frac{1}{2} \): \( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \) и \( x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \).

   • Для \( k = 1 \):
     • \( \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6} \) (приемлемо, так как меньше \( \frac{3\pi}{2} \)).
     • \( \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6} \) (приемлемо, так как меньше \( \frac{9\pi}{2} \)).
   • Для \( k = 2 \):
     • \( \frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{25\pi}{6} \) (приемлемо).
     • \( \frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{29\pi}{6} \) (приемлемо).

В итоге, корни уравнения в пределах \( [3\pi; \frac{9\pi}{2}] \) это:

• \( x = \frac{7\pi}{2} \)
• \( x = \frac{13\pi}{6} \)
• \( x = \frac{17\pi}{6} \)
• \( x = \frac{25\pi}{6} \)
• \( x = \frac{29\pi}{6} \)

Эти значения удовлетворяют исходному уравнению.