(x + 3)(1 - x) * (x + 6) ^ 2 >= 0

Чтобы решить неравенство \((x + 3)(1 - x)(x + 6)^2 \geq 0\), следует определить, когда произведение этих трех множителей неотрицательно.

1. Найдем корни каждого множителя:

   • \(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\)
   • \(1 - x = 0 \Rightarrow x = 1\)
   • \((x + 6)^2 = 0 \Rightarrow x = -6\) (учтем, что квадрат всегда неотрицателен)

   Таким образом, ключевые точки, где функция может менять знак, это \(x = -6\), \(x = -3\) и \(x = 1\).

2. Определим интервалы: Расположим найденные корни на числовой оси и выделим интервалы:

   • \((-\infty, -6)\)
   • \((-6, -3)\)
   • \((-3, 1)\)
   • \((1, +\infty)\)

3. Проверим знак на каждом интервале:

   • Интервал \((-\infty, -6)\): например, \(x = -7\) \(((-7 + 3)(1 - (-7))(-7 + 6)^2) > 0\) (положительно)
   • Интервал \((-6, -3)\): например, \(x = -5\) \(((-5 + 3)(1 - (-5))(-5 + 6)^2) < 0\) (отрицательно)
   • Интервал \((-3, 1)\): например, \(x = 0\) \((0 + 3)(1 - 0)(0 + 6)^2 > 0\) (положительно)
   • Интервал \((1, +\infty)\): например, \(x = 2\) \((2 + 3)(1 - 2)(2 + 6)^2 < 0\) (отрицательно)

4. Подводим итог: Мы указываем, что \((x + 3)(1 - x)(x + 6)^2 \geq 0\) при \(x \in (-\infty, -6) \cup [-3, 1]\).

5. Не забудьте учесть, что \((x + 6)^2\) всегда неотрицательно и равен нулю только в точке \(x = -6\). Этот корень включает в неравенство.

Таким образом, решение неравенства: \[ x \in (-\infty, -6) \cup [-3, 1] \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или какие-либо моменты, которые нужно прояснить, feel free to ask!