|x ^ 2 + 5x + 1| > 2x + 5

Давайте решим неравенство |x² + 5x + 1| > 2x + 5.

Для начала мы можем разделить это неравенство на два случая из-за абсолютной величины.

Случай 1: \(x^2 + 5x + 1 > 2x + 5\)

Переносим все члены на одну сторону:

\(x^2 + 5x + 1 - 2x - 5 > 0\)

Упрощаем:

\(x^2 + 3x - 4 > 0\)

Далее найдем корни квадратного уравнения \(x^2 + 3x - 4 = 0\) с помощью дискриминанта:

\(D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25\)

Корни уравнения равны:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 5}{2}\)

Таким образом, \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -4\).

Теперь исследуем знаки выражения \(x^2 + 3x - 4\) на интервалах:

• \( (-\infty, -4) \)
• \( (-4, 1) \)
• \( (1, +\infty) \)

Выбираем тестовые точки:

1. Для интервала \( (-\infty, -4) \) (например, \( x = -5 \)): \((-5)^2 + 3(-5) - 4 = 25 - 15 - 4 = 6\) (положительно).
2. Для интервала \( (-4, 1) \) (например, \( x = 0 \)): \(0^2 + 3(0) - 4 = -4\) (отрицательно).
3. Для интервала \( (1, +\infty) \) (например, \( x = 2 \)): \(2^2 + 3(2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6\) (положительно).

Таким образом, первое неравенство выполняется для интервалов:

\(x \in (-\infty, -4) \cup (1, +\infty)\).

Случай 2: \(x^2 + 5x + 1 < -(2x + 5)\)

Переносим все члены:

\(x^2 + 5x + 1 + 2x + 5 < 0\)

Упрощаем:

\(x^2 + 7x + 6 < 0\)

Теперь найдем корни \(x^2 + 7x + 6 = 0\):

\(D = 7^2 - 4(1)(6) = 49 - 24 = 25\)

Корни:

\(x = \frac{-7 \pm 5}{2}\)

• \(x_1 = -1\)
• \(x_2 = -6\)

Исследуем знаки на интервалах:

• \( (-\infty, -6) \)
• \( (-6, -1) \)
• \( (-1, +\infty) \)

Тестовые точки:

1. Для интервала \( (-\infty, -6) \) (например, \( x = -7 \)): \( (-7)^2 + 7(-7) + 6 = 49 - 49 + 6 = 6\) (положительно).
2. Для интервала \( (-6, -1) \) (например, \( x = -5 \)): \( (-5)^2 + 7(-5) + 6 = 25 - 35 + 6 = -4\) (отрицательно).
3. Для интервала \( (-1, +\infty) \) (например, \( x = 0 \)): \( 0^2 + 7(0) + 6 = 6\) (положительно).

Таким образом, второе неравенство выполняется для интервала:

\(x \in (-6, -1)\).

Общая запись решения:

Объединяя решения обоих случаев, получаем:

\(x \in (-\infty, -6) \cup (-6, -4) \cup (1, +\infty)\).

Это полное решение исходного неравенства |x² + 5x + 1| > 2x + 5. Если у вас есть еще вопросы, буду рад помочь!