Правильная шестиугольная призма объемом 72 и площадью основания 8 совмещена с шаром так, что высота призмы является диаметром шара. Найдите объем шара. В ответе укажите значение, умноженное на 1/п .
Чтобы найти объем шара, рассмотрим данные задачи. У нас есть правильная шестиугольная призма с объемом \( V_{\text{призмы}} = 72 \) и площадью основания \( S_{\text{основания}} = 8 \).
Найдем высоту призмы. Формула для объема призмы: \[ V = S_{\text{основания}} \cdot h, \] где \( h \) — высота призмы. Подставим известные значения: \[ 72 = 8 \cdot h. \] Разделим обе стороны на 8: \[ h = \frac{72}{8} = 9. \]
Определим диаметр шара и его радиус. По условию, высота призмы равна диаметру шара. Таким образом, диаметр шара \( d = h = 9 \), а радиус \( r = \frac{d}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 \).
Найдем объем шара. Формула для объема шара имеет вид: \[ V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi r^3. \] Подставим найденное значение радиуса: \[ V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi \left(4.5\right)^3. \]
Сначала найдем \( (4.5)^3 \): \[ (4.5)^3 = 4.5 \cdot 4.5 \cdot 4.5 = 20.25 \cdot 4.5 = 91.125. \] Теперь подставим это значение в формулу для объема шара: \[ V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi \cdot 91.125 = \frac{364.5}{3} \pi = 121.5 \pi. \]
Умножим ответ на \( \frac{1}{\pi} \). Для получения окончательного ответа, умножим объем шара на \( \frac{1}{\pi} \): \[ V_{\text{шара}} \cdot \frac{1}{\pi} = 121.5 \pi \cdot \frac{1}{\pi} = 121.5. \]
Таким образом, ответ: \( 121.5 \).
