Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом 30 °. Найди объём пирамиды, если её высота равна 12.
Чтобы найти объём правильной четырёхугольной пирамиды, мы можем использовать следующую формулу:
\[ V = \frac{1}{3} S_{основания} \cdot h \]
где \( S_{основания} \) – площадь основания пирамиды, а \( h \) – высота пирамиды.
Найдем площадь основания. Поскольку основание является квадратом, площадь основания можно выразить как:
\[ S_{основания} = a^2 \]
где \( a \) – длина стороны квадрата.
Определим длину бокового ребра. У нас есть высота \( h = 12 \) и угол наклона бокового ребра к плоскости основания \( \alpha = 30° \). В этом случае мы можем определить длину бокового ребра \( l \) как:
\[ l = \frac{h}{\cos(\alpha)} = \frac{12}{\cos(30°)} \]
Значение \( \cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), поэтому:
\[ l = \frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3} \]
Расчёт длины стороны основания. В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро делит основание на две равные части, и мы можем выразить длину основания \( a \) через боковое ребро и высоту:
Применяя теорему Пифагора к треугольнику, образованному высотой, половиной стороны основания и боковым ребром:
\[ l^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]
Подставим известные нам значения:
\[ (8\sqrt{3})^2 = 12^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]
Это даёт:
\[ 192 = 144 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \] \[ \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 192 - 144 = 48 \] \[ \frac{a}{2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \] \[ a = 8\sqrt{3} \]
Подставляем значения в формулу для объёма. Теперь можем найти площадь основания:
\[ S_{основания} = (8\sqrt{3})^2 = 192 \]
И теперь можем найти объём:
\[ V = \frac{1}{3} \cdot 192 \cdot 12 = \frac{1}{3} \cdot 2304 = 768 \]
Таким образом, объём правильной четырёхугольной пирамиды равен \( 768 \) кубических единиц.
