Дан тетраэдр DABC, у которого три ребра с общей вершиной D перпендикулярны. Назовём грани между этими рёбрами боковыми гранями. Определи общую площадь боковых граней, если DA = 9; DB = 10; DC = 10.
В тетраэдре \(DABC\), где \(DA\), \(DB\) и \(DC\) перпендикулярны друг другу, мы можем рассматривать три боковые грани: \(DAB\), \(DAC\) и \(DBC\).
Строим тетраэдр в прямоугольной системе координат:
- \(D(0, 0, 0)\)
- \(A(9, 0, 0)\)
- \(B(0, 10, 0)\)
- \(C(0, 0, 10)\)
Теперь определим площади боковых граней:
Площадь грани \(DAB\): \[ S_{DAB} = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot DB = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 10 = 45 \]
Площадь грани \(DAC\): \[ S_{DAC} = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 10 = 45 \]
Площадь грани \(DBC\): \[ S_{DBC} = \frac{1}{2} \cdot DB \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = 50 \]
Теперь сложим все площади боковых граней: \[ S_{\text{общ}} = S_{DAB} + S_{DAC} + S_{DBC} = 45 + 45 + 50 = 140 \]
Таким образом, общая площадь боковых граней тетраэдра \(DABC\) равна \(140\) квадратных единиц.
