1)M(-5;7), N(3;-1), P(3;5), K(-5;-3) Найти: а) координаты векторов MN,PK 6) длину вектора NP в) координаты точки А середины М№ координаты точки В середины РК г) АВ; МК д)…
1)M(-5;7), N(3;-1), P(3;5), K(-5;-3) Найти: а) координаты векторов MN,PK 6) длину вектора NP в) координаты точки А середины М№ координаты точки В середины РК г) АВ; МК д) уравнение окружности с диаметром NP е) уравнение прямой NK 2)A(4;2), B(0;-6), С(-4;-2). Доказать, что треугольник АВС - равнобедренный. 3) Окружность задана уравнением (х-2)2+(y-3)²=26. Принадлежит ли этой окружности точка D (1;-2)?
- Давайте разберём все пункты по порядку.
а) Чтобы найти координаты векторов MN и PK, используем формулу для вектора, который соединяет две точки. Координаты вектора, соединяющего точки M и N, вычисляются как разность их координат:
Вектор MN: \[ MN = N - M = (3; -1) - (-5; 7) = (3 + 5; -1 - 7) = (8; -8) \]
Вектор PK: \[ PK = K - P = (-5; -3) - (3; 5) = (-5 - 3; -3 - 5) = (-8; -8) \]
б) Теперь найдем длину вектора NP. Для этого используем формулу длины вектора: \[ NP = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(3 - (-5))^2 + (5 - (-1))^2} \] Следовательно: \[ NP = \sqrt{(3 + 5)^2 + (5 + 1)^2} = \sqrt{(8)^2 + (6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \]
в) Координаты середины отрезка MN (точка A): \[ A = \left(\frac{x_M + x_N}{2}; \frac{y_M + y_N}{2}\right) = \left(\frac{-5 + 3}{2}; \frac{7 + (-1)}{2}\right) = \left(\frac{-2}{2}; \frac{6}{2}\right) = (-1; 3) \]
Координаты середины отрезка PK (точка B): \[ B = \left(\frac{x_P + x_K}{2}; \frac{y_P + y_K}{2}\right) = \left(\frac{3 + (-5)}{2}; \frac{5 + (-3)}{2}\right) = \left(\frac{-2}{2}; \frac{2}{2}\right) = (-1; 1) \]
г) Теперь найдём векторы AB и MK:
- Вектор AB: \[ AB = B - A = (-1; 1) - (-1; 3) = (0; -2) \]
- Вектор MK: \[ MK = K - M = (-5; -3) - (-5; 7) = (0; -10) \]
д) Уравнение окружности с диаметром NP можно написать следующим образом: Сначала найдём середину отрезка NP (центр окружности): \[ C = \left(\frac{3 + (-5)}{2}; \frac{5 + (-1)}{2}\right) = \left(-1; 2\right) \] Далее длина радиуса R равна половине длины отрезка NP, что будет равно: \[ R = \frac{10}{2} = 5 \] Уравнение окружности: \[ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 25 \]
е) Уравнение прямой NK можно найти через формулу: Сначала найдем наклон (угловой коэффициент): \[ k = \frac{y_K - y_N}{x_K - x_N} = \frac{-3 - (-1)}{-5 - 3} = \frac{-2}{-8} = \frac{1}{4} \] Теперь уравнение прямой в форме \(y - y_1 = k(x - x_1)\): \[ y - (-1) = \frac{1}{4}(x - 3) \implies y + 1 = \frac{1}{4}x - \frac{3}{4} \implies y = \frac{1}{4}x - \frac{7}{4} \]
- Чтобы доказать, что треугольник ABC является равнобедренным, нужно найти длины всех сторон:
Длина AB: \[ AB = \sqrt{(0 - 4)^2 + (-6 - 2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-8)^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \] Длина AC: \[ AC = \sqrt{(-4 - 4)^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{(-8)^2 + (-4)^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \] Длина BC: \[ BC = \sqrt{(-4 - 0)^2 + (-2 + 6)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \]
Сравнив длины, видим, что AB = AC. Следовательно, треугольник ABC является равнобедренным.
- Чтобы проверить, принадлежит ли точка D(1; -2) данной окружности, подставим координаты точки D в уравнение окружности: \[ (1 - 2)^2 + (-2 - 3)^2 = 26 \implies (-1)^2 + (-5)^2 = 26 \implies 1 + 25 = 26 \] Таким образом, точка D принадлежит окружности.
Если есть дополнительные вопросы, смело задавайте!
