Горизонтально расположенный цилиндрический сосуд разделён тонким подвижным, хорошо проводящим тепло поршнем на две части. В начальный момент справа от поршня находится кислород `("O"_2)`, а слева – смесь гелия `("He")` и водорода `("H"_2)`. Масса кислорода `m_("O"_2)=64` г. Поршень при этом находится в равновесии посередине сосуда. Материал поршня, непроницаемый для водорода и кислорода, оказался проницаемым для гелия, в результате чего поршень начал перемещаться и окончательно расположился на расстоянии пятой части длины цилиндра от левой стенки. Определите массы гелия и водорода в смеси. Трением между поршнем и стенками сосуда пренебречь.
Для решения этой задачи воспользуемся принципом равновесия системы и законом Бойля-Мариотта. Мы знаем, что в конечном состоянии поршень расположён на расстоянии одной пятой длины цилиндра от левой стенки. Это означает, что объём газа слева (смесь гелия и водорода) составляет одну пятую от общего объёма, в то время как объём газа справа (кислорода) составляет четыре пятых от общего объёма.
Обозначим переменные:
- Объём цилиндра: \( V \)
- Объём слева: \( V_{\text{лево}} = \frac{1}{5} V \)
- Объём справа: \( V_{\text{право}} = \frac{4}{5} V \)
Определим массы газа: Масса кислорода дана: \[ m_{\text{O}_2} = 64 \, \text{г} \]
Объём кислорода можно выразить через уравнение состояния идеального газа, если мы предположим, что все газы ведут себя как идеальные: \[ V_{\text{право}} = n_{\text{O}_2} RT/P_{\text{O}_2} \] где \( n_{\text{O}_2} \) – количество молей кислорода, \( R \) – универсальная газовая постоянная, \( T \) – температура, \( P_{\text{O}_2} \) – давление кислорода.
Мы знаем, что: \[ n_{\text{O}_2} = \frac{m_{\text{O}_2}}{M_{\text{O}_2}} = \frac{64 \, \text{г}}{32 \, \text{г/моль}} = 2 \, \text{моля} \]
Запишем уравнение состояния для кислорода: Подставляя количество молей кислорода в уравнение, мы можем найти его объём: \[ V_{\text{право}} = 2 \cdot \frac{RT}{P_{\text{O}_2}} = \frac{4}{5} V \]
Теперь найдем массу смеси гелия и водорода: Мы знаем, что поршень будет находиться в состоянии равновесия, поэтому давления слева и справа должны быть равны:
Для левой части (смесь гелия и водорода): \[ P_{\text{лево}} = \frac{n_{\text{He}} RT}{V_{\text{лево}}} + \frac{n_{\text{H}_2} RT}{V_{\text{лево}}} = \frac{(n_{\text{He}} + n_{\text{H}_2}) RT}{V_{\text{лево}}} \]
Применяя равенство давлений: \[ P_{\text{лево}} = P_{\text{право}} = \frac{2RT}{\frac{4}{5}V} \]
Из равенства давлений следует равенство: \[ \frac{(n_{\text{He}} + n_{\text{H}_2}) RT}{\frac{1}{5}V} = \frac{2RT}{\frac{4}{5}V} \]
Упрощая, получаем: \[ 5(n_{\text{He}} + n_{\text{H}_2}) = 8 \] \[ n_{\text{He}} + n_{\text{H}_2} = \frac{8}{5} \]
Теперь, выражаем массы: \[ m_{\text{He}} = n_{\text{He}} \cdot M_{\text{He}}, \quad m_{\text{H}_2} = n_{\text{H}_2} \cdot M_{\text{H}_2} \]
Принимая \( M_{\text{He}} = 4 \, \text{г/моль} \) и \( M_{\text{H}_2} = 2 \, \text{г/моль} \), мы можем выразить \( n_{\text{He}} \) и \( n_{\text{H}_2} \).
Наглядно: \[ n_{\text{He}} = x, \quad n_{\text{H}_2} = \frac{8}{5} - x \]
Подставляя в уравнение масса: \[ m_{\text{He}} = 4x, \quad m_{\text{H}_2} = 2\left(\frac{8}{5} - x\right) = \frac{16}{5} - 2x \]
Общая масса слева должна равняться: \[ 4x + \left(\frac{16}{5} - 2x\right) = 64 \, \text{г} \] Упрощая это уравнение, мы можем найти \( x \) и, соответственно, массы гелия и водорода.
Решение уравнения: \[ 2x + \frac{16}{5} = 64 \] \[ 2x = 64 - \frac{16}{5} \] \[ 2x = \frac{320 - 16}{5} = \frac{304}{5} \] \[ x = \frac{152}{5} = 30.4 \, \text{г} \]
Масса водорода: Подставляя \( x \) обратно, находим массу водорода: \[ m_{\text{H}_2} = 64 - 30.4 = 33.6 \, \text{г} \]
Таким образом, массы вещества в смеси:
- Масса гелия (He) составляет 30.4 г.
- Масса водорода (H₂) составляет 33.6 г.
