Даны координаты вершины треугольника MPT M=(-4 и 3) P=(2 и 7) T=(8 и - 2). Найти длины сторон и медиану проведёную из вершины M

Для решения данной задачи, начнем с нахождения длин сторон треугольника MPT по координатам его вершин. У нас есть координаты:

• M(-4, 3)
• P(2, 7)
• T(8, -2)

Длину стороны между двумя точками можно найти с помощью формулы расстояния:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Теперь найдем длины сторон треугольника:

1. Длина стороны MP: \[ d_{MP} = \sqrt{(2 - (-4))^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{(2 + 4)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \]

2. Длина стороны MT: \[ d_{MT} = \sqrt{(8 - (-4))^2 + (-2 - 3)^2} = \sqrt{(8 + 4)^2 + (-2 - 3)^2} = \sqrt{12^2 + (-5)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \]

3. Длина стороны PT: \[ d_{PT} = \sqrt{(8 - 2)^2 + (-2 - 7)^2} = \sqrt{(8 - 2)^2 + (-9)^2} = \sqrt{6^2 + 9^2} = \sqrt{36 + 81} = \sqrt{117} = 3\sqrt{13} \]

Теперь у нас есть длины сторон треугольника:

• \( MP = 2\sqrt{13} \)
• \( MT = 13 \)
• \( PT = 3\sqrt{13} \)

Теперь найдем медиану, проведенную из вершины M к стороне PT. Длина медианы может быть найдена по формуле:

\[ m_M = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2} \]

где \( c \) — длина стороны PT, а \( a \) и \( b \) — длины сторон MP и MT соответственно.

Подставляя значения:

• \( a = 2\sqrt{13} \)
• \( b = 13 \)
• \( c = 3\sqrt{13} \)

Вычисляем: \[ m_M = \frac{1}{2} \sqrt{2(2\sqrt{13})^2 + 2(13)^2 - (3\sqrt{13})^2} \] \[ = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 4 \cdot 13 + 2 \cdot 169 - 9 \cdot 13} \] \[ = \frac{1}{2} \sqrt{104 + 338 - 117} \] \[ = \frac{1}{2} \sqrt{325} = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{13} = \frac{5\sqrt{13}}{2} \]

Итак, длины сторон треугольника MPT:

• MP = \( 2\sqrt{13} \)
• MT = 13
• PT = \( 3\sqrt{13} \)

Длина медианы, проведенной из вершины M, равна \( \frac{5\sqrt{13}}{2} \).