Пусть дан такой граф, что от одной вершины до другой имеется ровно один путь по рёбрам. Называем графы с таким свойством деревьями. Степенью вершины графа называем количество…

Привет! Давай разберём задачу вместе.

Итак, у нас есть дерево с вершинами степеней 1, 3, 5 и 7. Всего вершин 112.

Дано, что вершин степени 1 на 73 больше, чем вершин степени 7. Обозначим:

• \( x_1 \) — количество вершин степени 1,
• \( x_3 \) — количество вершин степени 3,
• \( x_5 \) — количество вершин степени 5,
• \( x_7 \) — количество вершин степени 7.

У нас есть два уравнения:

1. \( x_1 + x_3 + x_5 + x_7 = 112 \)
2. \( x_1 = x_7 + 73 \)

Ещё одно важное свойство дерева: сумма степеней всех вершин равна удвоенному количеству рёбер. В дереве с \( n \) вершинами рёбер \( n-1 \), значит:

\[ x_1 + 3x_3 + 5x_5 + 7x_7 = 2 \cdot 111 = 222 \]

Подставим \( x_1 = x_7 + 73 \) в эти уравнения:

Уравнение 1: \( (x_7 + 73) + x_3 + x_5 + x_7 = 112 \)

Уравнение 2: \( (x_7 + 73) + 3x_3 + 5x_5 + 7x_7 = 222 \)

После подстановки и упрощения вместе решим систему:

1. \( 2x_7 + x_3 + x_5 = 39 \)
2. \( 8x_7 + 3x_3 + 5x_5 = 149 \)

Теперь можно решить систему методом исключения.

Умножим первое уравнение на 3: \( 6x_7 + 3x_3 + 3x_5 = 117 \)

Вычтем из второго: \[ (8x_7 + 3x_3 + 5x_5) - (6x_7 + 3x_3 + 3x_5) = 149 - 117 \] \[ 2x_7 + 2x_5 = 32 \] \[ x_7 + x_5 = 16 \]

Теперь у нас две подсистемы:

• \( x_3 + 5x_5 = 2x_7 + 32 \)
• \( x_3 = 39 - 3x_7 - 5x_5 \)

Подставим обратно для поиска разности: Вернёмся к \(x_7 + x_5 = 16\), решая дада: \[ x_3 + x_5 = 23 - x_7 \]

Таким образом перейдем к ответу следовна: \[ x_3 - x_5 = 7 \]

Ответ: 7