3. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка О центр основания, S — вершина, SO = 10 SC = 26. Найдите длину отрезка АС
Чтобы найти длину отрезка \( AC \) в правильной четырёхугольной пирамиде \( SABCD \), где \( O \) — центр основания \( ABCD \), нужно сначала разобраться с некоторыми свойствами пирамиды.
В правильной четырёхугольной пирамиде основание \( ABCD \) является квадратом, и все боковые грани (треугольники) являются равнобедренными. С учетом того, что \( O \) — центр квадрата, отрезок \( AO \) равен половине длины диагонали квадрата \( ABCD \).
Для вычисления длины диагонали квадрата воспользуемся формулой. Пусть длина стороны квадрата \( a \). Тогда длина диагонали \( d \) равна:
\[ d = a\sqrt{2} \]
Так как \( AO = \frac{1}{2}d = \frac{1}{2}a\sqrt{2} \).
Теперь, чтобы найти \( AC \), используем прямоугольный треугольник \( AOC \), где:
- \( AO = \frac{1}{2} a \sqrt{2} \)
- \( OC = \frac{1}{2} a \sqrt{2} \) (поскольку так же, как и \( AO \), \( OC \) является половиной диагонали квадрата)
Согласно теореме Пифагора, длина отрезка \( AC \) будет:
\[ AC = AO + OC = \sqrt{(AO)^2 + (OC)^2} \]
В итоге мы знаем, что \( SO = 10 \) и \( SC = 26 \). В этом случае, используя свойства треугольника \( SOC \) с учетом высоты \( OS \):
\[ SC^2 = SO^2 + OC^2 \] \[ 26^2 = 10^2 + OC^2 \] \[ 676 = 100 + OC^2 \] \[ OC^2 = 676 - 100 = 576 \] \[ OC = \sqrt{576} = 24 \]
Теперь знаем, что \( AO = OC = 24 \).
Следовательно, \[ AC = \sqrt{AO^2 + OC^2} = \sqrt{24^2 + 24^2} = \sqrt{576 + 576} = \sqrt{1152} = 24\sqrt{2} \]
Итак, длина отрезка \( AC \) равна \( 24\sqrt{2} \).
