Давайте решим предложенные задачи по вероятности.
Задача 1:
Дано:
- 54% взрослого населения — мужчины.
- 17,7% взрослого населения — пенсионеры.
- Доля пенсионеров среди мужчин — неизвестна.
- Доля пенсионеров среди женщин — 15%.
Обозначим:
- ( P(M) ) — вероятность того, что случайно выбранный взрослый человек — мужчина.
- ( P(P | M) ) — вероятность того, что мужчина является пенсионером.
- Общая доля пенсионеров среди женщин: ( 0.15 \times (1 - P(M)) ).
Имеем:
[
0.54 \times P(P | M) = 0.177 - 0.15 \times (1 - 0.54)
]
Подсчитаем:
- Доля женщин в населении: ( 1 - 0.54 = 0.46 ).
- Доля пенсионеров среди женщин: ( 0.15 \times 0.46 = 0.069 ).
- Доля пенсионеров среди мужчин:
[
P(P | M) = \frac{0.177 - 0.069}{0.54} \approx 0.20.
]
Ответ: Вероятность того, что выбранный мужчина является пенсионером, составляет примерно 0.20 или 20%.
Задача 2:
Дано:
- 40% яиц из первого хозяйства — высшей категории (обозначим ( P(A|H_1) = 0.4 )).
- 60% яиц из второго хозяйства — высшей категории (обозначим ( P(A|H_2) = 0.6 )).
- 50% яиц высшей категории в агрофирме (обозначим ( P(A) = 0.5 )).
- Доля яиц из первого хозяйства: ( P(H_1) = x ).
- Доля яиц из второго хозяйства: ( P(H_2) = 1 - x ).
По формуле полной вероятности:
[
P(A) = P(A|H_1) \cdot P(H_1) + P(A|H_2) \cdot P(H_2),
]
подставим значения:
[
0.5 = 0.4x + 0.6(1 - x).
]
Решим уравнение:
[
0.5 = 0.4x + 0.6 - 0.6x \implies 0.5 = 0.6 - 0.2x \implies 0.2x = 0.1 \implies x = 0.5.
]
Теперь можем найти ( P(H_1) ):
[
P(H_1) = 0.5.
]
Итак, вероятность того, что яйцо из первого хозяйства, будет:
[
P(H_1|A) = \frac{P(A|H_1) \cdot P(H_1)}{P(A)} = \frac{0.4 \cdot 0.5}{0.5} = 0.4.
]
Ответ: Вероятность того, что яйцо купленное у агрофирмы, окажется из первого хозяйства, составляет 0.4 или 40%.
Задача 3:
Дано:
- Вероятность того, что погода завтра будет такой же, как сегодня: ( P(S|A) = 0.8 ).
- Погода 19 июля — хорошая (( G )).
Необходима вероятность хорошей погоды 22 июля. Было три дня: 19 (хорошая), 20, и 21. Каждый день:
- Если погода хорошая, то она останется хорошей с вероятностью 0.8, а отличной — 0.2.
- Если погода отличная, то она останется отличной с вероятностью 0.8, а хорошей — 0.2.
Определим вероятности:
- Погода 20 июля:
- Хорошая (осталась): ( 0.8 ).
- Отличная (переключилась): ( 0.2 ).
Для 21 июля у нас два случая:
20 июля хорошая:
- 21 июля будет хорошей ( 0.8 ).
- 21 июля будет отличной ( 0.2 ).
20 июля отличная:
- 21 июля будет хорошей ( 0.2 ).
- 21 июля будет отличной ( 0.8 ).
Таким образом, подводим итог:
Вероятность:
- ( P(G_{22}|G_{19}) = P(G_{20}|G) P(G|G_{20}) + P(A|G_{20}) P(A|A_{20}) ).
Как итог, подсчитаем получение:
[
P(G_{22}) = P(G|G) \times P(G) + P(A|G) \times P(A) = 0.8^2 + 0.2 \cdot 0.2 = 0.64 + 0.04 = 0.68.
]
Ответ: Вероятность, что 22 июля будет отличная погода, составляет 0.32 или 32%.
Задача 4:
Дано:
- Вероятность того, что батарейка неисправна: ( P(N) = 0.01 ).
- Вероятность, что неисправная батарейка будет забракована: ( P(Z|N) = 0.95 ).
- Вероятность, что исправная батарейка будет ошибочно забракована: ( P(Z|I) = 0.04 ).
Необходима вероятность забраковки случайно выбранной батарейки:
[
P(Z) = P(Z|N) \cdot P(N) + P(Z|I) \cdot P(I),
]
где ( P(I) = 1 - P(N) = 0.99 ).
Теперь подставляем значения:
[
P(Z) = 0.95 \cdot 0.01 + 0.04 \cdot 0.99 = 0.0095 + 0.0396 = 0.0491.
]
Ответ: Вероятность, что случайно выбранная из упаковки батарейка будет забракована, составляет 0.0491 или 4.91%.
Задача 5:
Дано:
- Вероятность попадания в муху из пристрелянного револьвера: ( P(H) = 0.7 ).
- Вероятность попадания из непристрелянного: ( P(N) = 0.1 ).
- 10 револьверов, 2 из которых пристрелянные.
Определяем вероятность того, что Джон промахнётся:
- Вероятность выбрать пристрелянный револьвер: ( P(PH) = \frac{2}{10} = 0.2 ).
- Вероятность выбрать непристрелянный револьвер: ( P(PN) = \frac{8}{10} = 0.8 ).
Теперь считаем общую вероятность промаха:
[
P(M) = P(PH) \cdot (1 - P(H)) + P(PN) \cdot (1 - P(N)).
]
[
P(M) = 0.2 \cdot 0.3 + 0.8 \cdot 0.9 = 0.06 + 0.72 = 0.78.
]
Ответ: Вероятность того, что Джон промахнётся, составляет 0.78 или 78%.
Задача 6:
Дано:
- Сумма очков равна 3, и мы продолжали броски до тех пор, пока сумма не превысит 2.
Возможные способы получения суммы 3:
- 1 (первый бросок) + 2 (второй бросок) = 3.
- 1 (первый бросок) + 1 (второй бросок) + 1 (третий бросок) = 3.
Таким образом, мы можем догадаться, что для 1 + 2 (2 броска) или 1 + 1 + 1 (3 броска). Тогда вероятность сделать ровно три броска:
[
P(3) = \frac{1}{3}.
]
Ответ: Вероятность того, что было сделано ровно три броска, составляет 0.33 или 33%.
Задача 7:
Дано:
- В кармане у Пети 4 монеты по рублю и 2 двухрублёвые монеты.
Необходима вероятность того, что обе двухрублёвые монеты окажутся в одном кармане.
Возможные выборы:
- Из шести монет Петя выбирает три.
Общее количество способов выбрать 3 монеты из 6:
[
C(6,3) = \frac{6!}{3!3!} = 20.
]
Теперь определим количество благоприятных исходов:
- Если обе двухрублёвые монеты в одном кармане, то к ним нужно добавить одну из 4-х монет по рублю. Это всего 4 возможности:
[
C(4,1) = 4.
]
Следовательно, вероятность:
[
P = \frac{4}{20} = 0.2.
]
Ответ: Вероятность того, что обе двухрублёвые монеты окажутся в одном кармане, составляет 0.2 или 20%.
Если у вас остались вопросы по решению этих задач, пожалуйста, дайте знать!
