4 вариант 1. В городе 54% взрослого населения составляют 17,7% взрослого населения, причём доля пенсионеров среди мужчины. Пенсионеры женщин равна 15%. Для социологического опроса…

Давайте решим предложенные задачи по вероятности.

Задача 1:

Дано:

• 54% взрослого населения — мужчины.
• 17,7% взрослого населения — пенсионеры.
• Доля пенсионеров среди мужчин — неизвестна.
• Доля пенсионеров среди женщин — 15%.

Обозначим:

• \( P(M) \) — вероятность того, что случайно выбранный взрослый человек — мужчина.
• \( P(P | M) \) — вероятность того, что мужчина является пенсионером.
• Общая доля пенсионеров среди женщин: \( 0.15 \times (1 - P(M)) \).

Имеем: \[ 0.54 \times P(P | M) = 0.177 - 0.15 \times (1 - 0.54) \]

Подсчитаем:

1. Доля женщин в населении: \( 1 - 0.54 = 0.46 \).
2. Доля пенсионеров среди женщин: \( 0.15 \times 0.46 = 0.069 \).
3. Доля пенсионеров среди мужчин:

\[ P(P | M) = \frac{0.177 - 0.069}{0.54} \approx 0.20. \]

Ответ: Вероятность того, что выбранный мужчина является пенсионером, составляет примерно 0.20 или 20%.

Задача 2:

Дано:

• 40% яиц из первого хозяйства — высшей категории (обозначим \( P(A|H_1) = 0.4 \)).
• 60% яиц из второго хозяйства — высшей категории (обозначим \( P(A|H_2) = 0.6 \)).
• 50% яиц высшей категории в агрофирме (обозначим \( P(A) = 0.5 \)).
• Доля яиц из первого хозяйства: \( P(H_1) = x \).
• Доля яиц из второго хозяйства: \( P(H_2) = 1 - x \).

По формуле полной вероятности: \[ P(A) = P(A|H_1) \cdot P(H_1) + P(A|H_2) \cdot P(H_2), \] подставим значения: \[ 0.5 = 0.4x + 0.6(1 - x). \]

Решим уравнение: \[ 0.5 = 0.4x + 0.6 - 0.6x \implies 0.5 = 0.6 - 0.2x \implies 0.2x = 0.1 \implies x = 0.5. \]

Теперь можем найти \( P(H_1) \): \[ P(H_1) = 0.5. \]

Итак, вероятность того, что яйцо из первого хозяйства, будет: \[ P(H_1|A) = \frac{P(A|H_1) \cdot P(H_1)}{P(A)} = \frac{0.4 \cdot 0.5}{0.5} = 0.4. \]

Ответ: Вероятность того, что яйцо купленное у агрофирмы, окажется из первого хозяйства, составляет 0.4 или 40%.

Задача 3:

Дано:

• Вероятность того, что погода завтра будет такой же, как сегодня: \( P(S|A) = 0.8 \).
• Погода 19 июля — хорошая (\( G \)).

Необходима вероятность хорошей погоды 22 июля. Было три дня: 19 (хорошая), 20, и 21. Каждый день:

• Если погода хорошая, то она останется хорошей с вероятностью 0.8, а отличной — 0.2.
• Если погода отличная, то она останется отличной с вероятностью 0.8, а хорошей — 0.2.

Определим вероятности:

• Погода 20 июля:
  • Хорошая (осталась): \( 0.8 \).
  • Отличная (переключилась): \( 0.2 \).

Для 21 июля у нас два случая:

1. 20 июля хорошая:

   • 21 июля будет хорошей \( 0.8 \).
   • 21 июля будет отличной \( 0.2 \).

2. 20 июля отличная:

   • 21 июля будет хорошей \( 0.2 \).
   • 21 июля будет отличной \( 0.8 \).

Таким образом, подводим итог: Вероятность:

• \( P(G_{22}|G_{19}) = P(G_{20}|G) P(G|G_{20}) + P(A|G_{20}) P(A|A_{20}) \).

Как итог, подсчитаем получение: \[ P(G_{22}) = P(G|G) \times P(G) + P(A|G) \times P(A) = 0.8^2 + 0.2 \cdot 0.2 = 0.64 + 0.04 = 0.68. \]

Ответ: Вероятность, что 22 июля будет отличная погода, составляет 0.32 или 32%.

Задача 4:

Дано:

• Вероятность того, что батарейка неисправна: \( P(N) = 0.01 \).
• Вероятность, что неисправная батарейка будет забракована: \( P(Z|N) = 0.95 \).
• Вероятность, что исправная батарейка будет ошибочно забракована: \( P(Z|I) = 0.04 \).

Необходима вероятность забраковки случайно выбранной батарейки: \[ P(Z) = P(Z|N) \cdot P(N) + P(Z|I) \cdot P(I), \] где \( P(I) = 1 - P(N) = 0.99 \).

Теперь подставляем значения: \[ P(Z) = 0.95 \cdot 0.01 + 0.04 \cdot 0.99 = 0.0095 + 0.0396 = 0.0491. \]

Ответ: Вероятность, что случайно выбранная из упаковки батарейка будет забракована, составляет 0.0491 или 4.91%.

Задача 5:

Дано:

• Вероятность попадания в муху из пристрелянного револьвера: \( P(H) = 0.7 \).
• Вероятность попадания из непристрелянного: \( P(N) = 0.1 \).
• 10 револьверов, 2 из которых пристрелянные.

Определяем вероятность того, что Джон промахнётся:

1. Вероятность выбрать пристрелянный револьвер: \( P(PH) = \frac{2}{10} = 0.2 \).
2. Вероятность выбрать непристрелянный револьвер: \( P(PN) = \frac{8}{10} = 0.8 \).

Теперь считаем общую вероятность промаха: \[ P(M) = P(PH) \cdot (1 - P(H)) + P(PN) \cdot (1 - P(N)). \] \[ P(M) = 0.2 \cdot 0.3 + 0.8 \cdot 0.9 = 0.06 + 0.72 = 0.78. \]

Ответ: Вероятность того, что Джон промахнётся, составляет 0.78 или 78%.

Задача 6:

Дано:

• Сумма очков равна 3, и мы продолжали броски до тех пор, пока сумма не превысит 2.

Возможные способы получения суммы 3:

1. 1 (первый бросок) + 2 (второй бросок) = 3.
2. 1 (первый бросок) + 1 (второй бросок) + 1 (третий бросок) = 3.

Таким образом, мы можем догадаться, что для 1 + 2 (2 броска) или 1 + 1 + 1 (3 броска). Тогда вероятность сделать ровно три броска: \[ P(3) = \frac{1}{3}. \]

Ответ: Вероятность того, что было сделано ровно три броска, составляет 0.33 или 33%.

Задача 7:

Дано:

• В кармане у Пети 4 монеты по рублю и 2 двухрублёвые монеты.

Необходима вероятность того, что обе двухрублёвые монеты окажутся в одном кармане.

Возможные выборы:

• Из шести монет Петя выбирает три.

Общее количество способов выбрать 3 монеты из 6: \[ C(6,3) = \frac{6!}{3!3!} = 20. \]

Теперь определим количество благоприятных исходов:

1. Если обе двухрублёвые монеты в одном кармане, то к ним нужно добавить одну из 4-х монет по рублю. Это всего 4 возможности: \[ C(4,1) = 4. \]

Следовательно, вероятность: \[ P = \frac{4}{20} = 0.2. \]

Ответ: Вероятность того, что обе двухрублёвые монеты окажутся в одном кармане, составляет 0.2 или 20%.

Если у вас остались вопросы по решению этих задач, пожалуйста, дайте знать!