Sin(3x+π÷4) =√3÷2

Чтобы решить уравнение \(\sin(3x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), начнём с того, что нужно понять, при каких углах синус равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Значение \(\sin\) равно \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) при следующих углах:

1. \(\frac{\pi}{3} + 2k\pi\), где \(k\) — целое число (все полные обороты);
2. \(\frac{2\pi}{3} + 2k\pi\).

Таким образом, у нас есть два уравнения для \(3x + \frac{\pi}{4}\):

1. \(3x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi\)
2. \(3x + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi\)

Теперь решим каждое из этих уравнений:

Первое уравнение:

\[ 3x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \] Выразим \(3x\): \[ 3x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + 2k\pi \] Теперь найдем общий знаменатель для \(\frac{\pi}{3}\) и \(\frac{\pi}{4}\):

• Общий знаменатель — 12.
• \(\frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{12}\)
• \(\frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{12}\)

Следовательно: \[ 3x = \frac{4\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} + 2k\pi = \frac{\pi}{12} + 2k\pi \] Теперь делим на 3: \[ x = \frac{\pi}{36} + \frac{2k\pi}{3} \]

Второе уравнение:

\[ 3x + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \] Аналогично, выразим \(3x\): \[ 3x = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + 2k\pi \] Снова находим общий знаменатель:

• \(\frac{2\pi}{3} = \frac{8\pi}{12}\)
• \(\frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{12}\)

Следовательно: \[ 3x = \frac{8\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} + 2k\pi = \frac{5\pi}{12} + 2k\pi \] Теперь делим на 3: \[ x = \frac{5\pi}{36} + \frac{2k\pi}{3} \]

Ответ:

Таким образом, общее решение уравнения будет: \[ x = \frac{\pi}{36} + \frac{2k\pi}{3} \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{36} + \frac{2k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Если вам нужно больше пояснений или помощь с другими задачами, пожалуйста, дайте знать!