8. Найдите апофему правильной четырехугольной пирамиды, высота которой 12 см, а диагональ основания 10√2 см.

Чтобы найти апофему правильной четырехугольной пирамиды, нужно использовать некоторые геометрические соотношения.

1. Определим основание пирамиды. Основание правильной четырехугольной пирамиды — квадрат. Если диагональ основания равна \(10\sqrt{2}\) см, то мы можем найти сторону квадрата. Формула для диагонали квадрата:

\[ d = a\sqrt{2} \]

где \(d\) — диагональ, \(a\) — сторона квадрата. Подставим известное значение:

\[ 10\sqrt{2} = a\sqrt{2} \]

Разделим обе стороны на \(\sqrt{2}\):

\[ 10 = a \]

Таким образом, сторона основания квадрата равна 10 см.

2. Найдем радиус вписанной окружности. Радиус вписанной окружности (расстояние от центра квадрата до середины его стороны) равен:

\[ r = \frac{a}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ см.} \]

3. Теперь используем высоту пирамиды. Высота пирамиды равна 12 см. Теперь, чтобы найти апофему (наклонное ребро), воспользуемся теоремой Пифагора. Апофема, высота пирамиды и радиус вписанной окружности образуют прямоугольный треугольник, где:

• Высота (12 см) — одна катета,
• Радиус вписанной окружности (5 см) — другой катет,
• Апофема — гипотенуза.

Запишем это в форме уравнения:

\[ l^2 = h^2 + r^2 \]

где \(l\) — апофема, \(h\) — высота, \(r\) — радиус вписанной окружности. Подставим известные значения:

\[ l^2 = 12^2 + 5^2 \] \[ l^2 = 144 + 25 \] \[ l^2 = 169 \]

Теперь найдём длину апофемы:

\[ l = \sqrt{169} = 13 \text{ см.} \]

Таким образом, апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 13 см.